Номер 2.23, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.23. Повторите определение многоугольника на плоскости и теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

Определение многоугольника на плоскости

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Более строго, многоугольник (или $n$-угольник) — это фигура, состоящая из $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$, называемых вершинами, и $n$ отрезков $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{n-1}A_n, A_nA_1$, называемых сторонами. При этом должны выполняться следующие условия:

1. Никакие две несмежные стороны (стороны, не имеющие общей вершины) не имеют общих точек.

2. Никакие две смежные стороны (стороны, выходящие из одной вершины) не лежат на одной прямой.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Эквивалентное определение: многоугольник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью содержится внутри многоугольника. Все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$.

Ответ: Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией без самопересечений. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Теорема: Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$. Выберем произвольную вершину, например $A_1$, и проведём из неё все возможные диагонали к остальным вершинам ($A_3, A_4, \dots, A_{n-1}$). Всего будет проведено $n-3$ диагонали.

Эти диагонали разбивают исходный $n$-угольник на $n-2$ треугольника. Например, пятиугольник ($n=5$) разбивается на $5-2=3$ треугольника, а четырехугольник ($n=4$) — на $4-2=2$ треугольника.

Сумма всех внутренних углов многоугольника в точности равна сумме углов всех этих образовавшихся треугольников. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, общая сумма углов для $n-2$ треугольников будет равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Таким образом, формула для суммы углов $S_n$ выпуклого $n$-угольника, где $n$ — число его сторон ($n \ge 3$), имеет вид:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Ответ: Сумма углов выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.