Задания, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно докажите, что всякий плоский угол трехгранного угла больше разности двух других его плоских углов.

Доказательство:

Пусть дан трехгранный угол с плоскими углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ при вершине. Нам нужно доказать, что любой из этих углов больше модуля разности двух других. Докажем, например, для угла $\alpha$, что $\alpha > |\beta - \gamma|$.

В основе доказательства лежит фундаментальное свойство трехгранного угла, известное как неравенство треугольника для трехгранного угла: каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Запишем это свойство в виде системы неравенств:

1. $\alpha < \beta + \gamma$

2. $\beta < \alpha + \gamma$

3. $\gamma < \alpha + \beta$

Для доказательства неравенства $\alpha > |\beta - \gamma|$ нам необходимо показать, что выполняются два условия: $\alpha > \beta - \gamma$ и $\alpha > \gamma - \beta$.

Рассмотрим неравенство (2) из системы:

$\beta < \alpha + \gamma$

Перенесем $\gamma$ в левую часть, изменив знак:

$\beta - \gamma < \alpha$ (i)

Теперь рассмотрим неравенство (3) из системы:

$\gamma < \alpha + \beta$

Перенесем $\beta$ в левую часть, изменив знак:

$\gamma - \beta < \alpha$ (ii)

Мы получили два неравенства (i) и (ii), которые показывают, что угол $\alpha$ больше как разности $\beta - \gamma$, так и разности $\gamma - \beta$.

Модуль разности $|\beta - \gamma|$ по определению равен:

$|\beta - \gamma| = \beta - \gamma$, если $\beta \ge \gamma$

$|\beta - \gamma| = \gamma - \beta$, если $\beta < \gamma$

В любом случае, одно из чисел $\beta - \gamma$ или $\gamma - \beta$ равно $|\beta - \gamma|$, а другое является ему противоположным и, следовательно, неположительным числом.

Так как мы доказали, что $\alpha$ больше и $\beta - \gamma$, и $\gamma - \beta$, то $\alpha$ гарантированно больше того из них, которое является положительным (или равно нулю), то есть больше $|\beta - \gamma|$.

Таким образом, $\alpha > |\beta - \gamma|$.

Аналогичные рассуждения можно провести и для других углов ($\beta$ и $\gamma$), используя другие пары неравенств из исходной системы. Это доказывает, что любой плоский угол трехгранного угла больше разности двух других его плоских углов.

Ответ: Утверждение доказано. Доказательство основано на свойстве плоских углов трехгранного угла: каждый из них меньше суммы двух других. Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — плоские углы. Известно, что $\beta < \alpha + \gamma$ и $\gamma < \alpha + \beta$. Из первого неравенства следует $\alpha > \beta - \gamma$. Из второго следует $\alpha > \gamma - \beta$. Поскольку $\alpha$ больше обеих разностей, оно больше и модуля разности, т.е. $\alpha > |\beta - \gamma|$. Аналогично для других углов.