Номер 2.19, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.19. Найдите площадь поверхности детали в форме правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 1 и 2, а боковые ребра равны 1 (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.
Сторона нижнего основания: $a = 2$.
Сторона верхнего основания: $b = 1$.
Боковое ребро: $l = 1$.

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух ее оснований ($S_{нижн}$ и $S_{верхн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок}$

1. Найдем площади оснований. Поскольку усеченная пирамида правильная, ее основаниями являются квадраты.

Площадь нижнего основания со стороной $a=2$:
$S_{нижн} = a^2 = 2^2 = 4$ (кв. ед.).

Площадь верхнего основания со стороной $b=1$:
$S_{верхн} = b^2 = 1^2 = 1$ (кв. ед.).

2. Найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему (высоту боковой грани). Сначала найдем апофему $h_a$.

Рассмотрим боковую грань — равнобедренную трапецию с основаниями $a=2$, $b=1$ и боковой стороной $l=1$. Проведем в этой трапеции высоту (апофему пирамиды $h_a$) из вершины меньшего основания к большему. Эта высота образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро $l$, одним катетом — апофема $h_a$, а вторым катетом — полуразность оснований трапеции.

Длина второго катета равна: $\frac{a-b}{2} = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h_a^2 + (\frac{a-b}{2})^2$.

Выразим и найдем апофему $h_a$:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности. Площадь одной боковой грани (трапеции) равна:

$S_{трап} = \frac{a+b}{2} \cdot h_a = \frac{2+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Так как таких граней четыре, площадь всей боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ (кв. ед.).

4. Наконец, найдем площадь полной поверхности детали, сложив площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = 4 + 1 + 3\sqrt{3} = 5 + 3\sqrt{3}$ (кв. ед.).

Ответ: $5 + 3\sqrt{3}$.