Номер 2.17, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2.17. Дворец мира и согласия в Нур-Султане (рис. 2.12) имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 62 м. Найдите площадь боковой поверхности Дворца.

Рис. 2.12

Дано:

Пирамида — правильная четырехугольная.
Сторона основания $a = 62$ м.
Высота пирамиды $H = 62$ м.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ - ?

Решение:

Дворец мира и согласия представляет собой правильную четырехугольную пирамиду. Это означает, что в ее основании лежит квадрат, а боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ — периметр основания, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 62$ м, его периметр равен: $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 62 = 248$ м.

2. Найдем апофему $l$. Апофему можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и половина стороны основания (или апофема основания) $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения: $H = 62$ м
$\frac{a}{2} = \frac{62}{2} = 31$ м

Выполним вычисления: $l^2 = 62^2 + 31^2 = 3844 + 961 = 4805$

Отсюда апофема равна: $l = \sqrt{4805}$ м.

Для удобства дальнейших вычислений упростим корень. Заметим, что $4805 = 5 \cdot 961$, а $961 = 31^2$. Тогда, $l = \sqrt{31^2 \cdot 5} = 31\sqrt{5}$ м.

3. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды, подставив найденные значения периметра и апофемы в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 248 \cdot 31\sqrt{5}$

$S_{бок} = 124 \cdot 31\sqrt{5} = 3844\sqrt{5}$ м².

Ответ: Площадь боковой поверхности Дворца равна $3844\sqrt{5}$ м².