Страница 17 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1.27. На рисунке 1.22 укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

a)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 1.22

Решение

Многогранник называется выпуклым, если он полностью расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Если это условие не выполняется, то есть существуют точки многогранника по обе стороны от плоскости какой-либо его грани, многогранник является невыпуклым. Проще говоря, у выпуклого многогранника нет «вмятин» или «углублений».

Проанализируем каждый из представленных многогранников:

а) Этот многогранник, составленный из кубов, является невыпуклым. У него есть внутренние двугранные углы, которые больше 180°. Можно выбрать две точки в разных "лучах" фигуры, и отрезок, соединяющий их, частично пройдет вне многогранника.
Ответ: невыпуклый.

б) Данный многогранник имеет вогнутые части. Его вершины направлены внутрь, образуя "впадины". Если провести плоскость через одну из внутренних треугольных граней, то многогранник окажется по обе стороны от этой плоскости. Следовательно, он является невыпуклым.
Ответ: невыпуклый.

в) Это пятиугольная призма. Она целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой из её граней. Любой отрезок, соединяющий две точки внутри призмы, полностью ей принадлежит. Это выпуклый многогранник.
Ответ: выпуклый.

г) Это наклонный параллелепипед. Любой параллелепипед является выпуклым многогранником, так как удовлетворяет определению выпуклой фигуры.
Ответ: выпуклый.

д) Этот многогранник (додекаэдр) является выпуклым. У него нет вогнутых частей, и он расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Ответ: выпуклый.

е) Эта фигура имеет Г-образную форму и внутренний двугранный угол больше 180°. Можно выбрать две точки в разных частях фигуры так, что соединяющий их отрезок выйдет за её пределы. Это невыпуклый многогранник.
Ответ: невыпуклый.

1.28. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 1.23). Найдите площадь поверхности оставшейся части.

Рис. 1.23

Дано:

Ребро куба, $a = 6$ см

Сторона квадратного отверстия, $b = 2$ см

Найти:

Площадь поверхности оставшейся части, $S_{полн}$

Решение:

Полная площадь поверхности $S_{полн}$ оставшейся части складывается из площади внешней поверхности $S_{внешн}$ и площади внутренней поверхности $S_{внутр}$, которая образовалась в результате проделывания отверстий.

$S_{полн} = S_{внешн} + S_{внутр}$

1. Найдем площадь внешней поверхности. Она равна площади поверхности исходного куба за вычетом площадей шести квадратных отверстий на каждой грани.

Площадь поверхности исходного куба: $S_{куба} = 6a^2 = 6 \cdot (6 \text{ см})^2 = 6 \cdot 36 \text{ см}^2 = 216 \text{ см}^2$.

Площадь одного квадратного отверстия: $S_{отв} = b^2 = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь шести вырезанных квадратов: $6 \cdot S_{отв} = 6 \cdot 4 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

Площадь внешней поверхности оставшейся части:

$S_{внешн} = S_{куба} - 6 \cdot S_{отв} = 216 \text{ см}^2 - 24 \text{ см}^2 = 192 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь внутренней поверхности. Сквозные отверстия, проделанные через три пары противоположных граней, образуют внутри куба три пересекающихся квадратных "туннеля". Объем, который они вырезают, представляет собой фигуру, состоящую из центрального куба со стороной $b=2$ см и шести таких же кубов, примыкающих к его граням. Всего эта фигура состоит из 7 кубиков со стороной 2 см.

Внутренняя поверхность, которую нам нужно найти, — это площадь поверхности этой фигуры.

Эта фигура состоит из центрального куба, все грани которого оказываются закрыты другими кубами, и шести внешних кубов. Каждый из шести внешних кубов имеет 5 открытых граней (площадью $b^2$ каждая) и одну грань, которой он примыкает к центральному кубу.

Площадь поверхности одного такого внешнего кубика: $5 \cdot b^2 = 5 \cdot (2 \text{ см})^2 = 5 \cdot 4 \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$.

Так как таких кубиков шесть, общая площадь внутренней поверхности равна:

$S_{внутр} = 6 \cdot (5 \cdot b^2) = 6 \cdot 20 \text{ см}^2 = 120 \text{ см}^2$.

3. Найдем полную площадь поверхности оставшейся части, сложив внешнюю и внутреннюю площади.

$S_{полн} = S_{внешн} + S_{внутр} = 192 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2 = 312 \text{ см}^2$.

Ответ: $312 \text{ см}^2$.

1.29. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба (рис. 1.24) из одной его вершины в противоположащую вершину.

Рис. 1.24

Дано:

Единичный куб, то есть куб с длиной ребра $a = 1$.

Найти:

Длину кратчайшего пути $L$ по поверхности куба из одной его вершины в противолежащую.

Решение:

Кратчайший путь между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на его развёртке. Пусть нам нужно найти кратчайший путь по поверхности куба между противолежащими вершинами, например, между вершиной $A$ и вершиной $C_1$ (см. рис. 1.24 в условии).

Чтобы соединить вершины $A$ и $C_1$, путь должен пройти по двум смежным граням куба. Рассмотрим развёртку, состоящую из двух таких граней, например, передней грани $ABB_1A_1$ и верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Развернём эти две грани в одну плоскость так, чтобы они соприкасались по общему ребру $A_1B_1$.

В результате мы получим плоский прямоугольник, состоящий из двух единичных квадратов. Стороны этого прямоугольника будут равны $a$ и $2a$. Поскольку куб единичный, то стороны прямоугольника равны $1$ и $1 + 1 = 2$.

Вершины $A$ и $C_1$ на этой развёртке окажутся в противоположных углах полученного прямоугольника со сторонами 1 и 2. Кратчайший путь между ними — это диагональ этого прямоугольника.

Длину этой диагонали $L$ можно найти по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, катетами которого являются стороны прямоугольника:

$L^2 = 1^2 + 2^2$

$L^2 = 1 + 4 = 5$

$L = \sqrt{5}$

В силу симметрии куба, выбор любой другой пары смежных граней для развёртки приведёт к аналогичному результату.

Ответ: Длина кратчайшего пути равна $\sqrt{5}$.

1.30. Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника?

Решение

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть определения выпуклого многогранника и его грани.

Выпуклый многогранник — это такое тело в трехмерном пространстве, которое является выпуклым множеством. Свойство выпуклости означает, что для любых двух точек, принадлежащих многограннику, отрезок, соединяющий эти точки, также полностью принадлежит этому многограннику.

Грань выпуклого многогранника — это плоский многоугольник, который образуется как пересечение самого многогранника с одной из его опорных плоскостей. Опорная плоскость — это такая плоскость, которая имеет хотя бы одну общую точку с многогранником, и при этом весь многогранник лежит по одну сторону от этой плоскости.

Пусть $P$ — это выпуклый многогранник, а $F$ — одна из его граней. По определению, грань $F$ лежит в некоторой плоскости $\alpha$. Эта плоскость $\alpha$ является опорной для многогранника $P$. Грань $F$ является пересечением многогранника $P$ и плоскости $\alpha$:

$F = P \cap \alpha$

Теперь проанализируем множества, участвующие в этом равенстве:

1. Тело многогранника $P$ является выпуклым множеством (по определению выпуклого многогранника).

2. Плоскость $\alpha$ также является выпуклым множеством (поскольку любой отрезок, концы которого лежат в плоскости, целиком принадлежит этой плоскости).

В геометрии есть фундаментальная теорема, которая гласит, что пересечение любого количества выпуклых множеств само является выпуклым множеством.

Применяя эту теорему, мы заключаем, что грань $F$, как результат пересечения двух выпуклых множеств ($P$ и $\alpha$), сама обязана быть выпуклым множеством.

Невыпуклый многоугольник по своему определению не является выпуклым множеством. В нем всегда можно найти две внутренние точки, отрезок между которыми частично выходит за пределы многоугольника.

Следовательно, грань выпуклого многогранника не может быть невыпуклым многоугольником. Она всегда является выпуклым многоугольником.

Ответ: Нет, не может. Все грани выпуклого многогранника обязательно являются выпуклыми многоугольниками.

1.31. Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой?

Решение

Для ответа на этот вопрос сначала вспомним определение выпуклой фигуры. Фигура называется выпуклой, если для любых двух точек, принадлежащих этой фигуре, отрезок, соединяющий эти точки, также полностью принадлежит этой фигуре.

Утверждение о том, что объединение выпуклых фигур всегда является выпуклой фигурой, является неверным. Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим две выпуклые фигуры, $F_1$ и $F_2$, которые являются двумя непересекающимися кругами на плоскости. Например, пусть $F_1$ — это круг с центром в точке $O_1(-2, 0)$ и радиусом $R=1$, а $F_2$ — круг с центром в точке $O_2(2, 0)$ и радиусом $R=1$. Оба круга являются выпуклыми фигурами.

Рассмотрим их объединение $F = F_1 \cup F_2$. Возьмем точку $A$ из фигуры $F_1$, например, ее центр $A(-2, 0)$, и точку $B$ из фигуры $F_2$, например, ее центр $B(2, 0)$. Обе точки, $A$ и $B$, по определению принадлежат объединению $F$.

Теперь рассмотрим отрезок $AB$, соединяющий эти точки. Возьмем точку $C$, которая является серединой этого отрезка — начало координат $C(0, 0)$. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$.

Проверим, принадлежит ли точка $C$ объединению $F$. Для этого она должна принадлежать хотя бы одной из фигур: $F_1$ или $F_2$.

Расстояние от точки $C(0, 0)$ до центра круга $F_1$ ($O_1(-2, 0)$) равно $\sqrt{(-2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$. Это расстояние больше радиуса круга ($R=1$), следовательно, точка $C$ не принадлежит кругу $F_1$.

Расстояние от точки $C(0, 0)$ до центра круга $F_2$ ($O_2(2, 0)$) равно $\sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$. Это расстояние также больше радиуса круга ($R=1$), следовательно, точка $C$ не принадлежит кругу $F_2$.

Поскольку точка $C$ не принадлежит ни $F_1$, ни $F_2$, она не принадлежит и их объединению $F$. Таким образом, мы нашли две точки $A$ и $B$ в фигуре $F$, отрезок между которыми ($AB$) не полностью содержится в $F$. Это противоречит определению выпуклой фигуры.

Следовательно, объединение двух выпуклых фигур в общем случае не является выпуклой фигурой.

Ответ: Нет, не всегда.