Страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите формулу площади поверхности куба, ребра которого равны $a$.

Напишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны $a$, $b$.

Напишите формулу площади поверхности куба, ребра которого равны a.

Дано:

Куб, длина ребра которого равна $a$.

Найти:

Формулу площади поверхности куба $S$.

Решение:

Поверхность куба состоит из шести одинаковых граней. Каждая грань представляет собой квадрат со стороной $a$. Площадь одной такой квадратной грани вычисляется по формуле: $S_{грани} = a \cdot a = a^2$.

Поскольку у куба 6 таких граней, общая площадь его поверхности равна сумме площадей всех граней:

$S = 6 \cdot S_{грани} = 6a^2$.

Ответ: $S = 6a^2$.

Напишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны a, b.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед. Ребра, выходящие из одной вершины, являются его измерениями (длиной, шириной и высотой). В условии задачи указаны только два измерения: $a$ и $b$. Для нахождения площади поверхности необходимо знать все три измерения. Предположим, что третье измерение равно $c$.

Найти:

Формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда $S$.

Решение:

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней (3 пары одинаковых прямоугольников). Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b$ и $c$.

1. Две грани (например, верхняя и нижняя) имеют стороны $a$ и $b$. Площадь каждой из них равна $ab$. Их суммарная площадь: $2ab$.

2. Две другие грани (например, передняя и задняя) имеют стороны $a$ и $c$. Площадь каждой из них равна $ac$. Их суммарная площадь: $2ac$.

3. Оставшиеся две грани (боковые) имеют стороны $b$ и $c$. Площадь каждой из них равна $bc$. Их суммарная площадь: $2bc$.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней:

$S = 2ab + 2ac + 2bc$.

Формулу можно также записать, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$S = 2(ab + ac + bc)$.

Ответ: $S = 2(ab + ac + bc)$.

Вопросы

1. Что называется многогранником?

2. Какой многогранник называется кубом?

3. Что называется диагональю куба?

4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

5. Что называется диагональю параллелепипеда?

6. Какой многогранник называется призмой?

7. Какая призма называется правильной?

8. Что называется высотой призмы?

9. Что называется диагональю призмы?

10. Какой многогранник называется выпуклым?

11. Что называется разверткой многогранника?

12. Что называется площадью поверхности многогранника?

13. Как находится площадь поверхности призмы?

Что называется многогранником?

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (граней). Стороны граней называются рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Ответ: Геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

2. Какой многогранник называется кубом?

Кубом называется правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб также является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения (длина, ширина, высота) равны. Ответ: Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

3. Что называется диагональю куба?

Диагональю куба называется отрезок, соединяющий две вершины куба, которые не принадлежат одной и той же грани. Такие вершины также называют симметричными относительно центра куба. Ответ: Отрезок, соединяющий две симметричные относительно центра куба вершины.

4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм. Это означает, что все шесть граней параллелепипеда являются параллелограммами. Ответ: Многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них является параллелограммом.

5. Что называется диагональю параллелепипеда?

Диагональю параллелепипеда называется отрезок, который соединяет две его вершины, не принадлежащие одной грани. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Ответ: Отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани.

6. Какой многогранник называется призмой?

Призмой называется многогранник, у которого две грани (называемые основаниями) являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (называемые боковыми) — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований. Ответ: Многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы.

7. Какая призма называется правильной?

Правильной призмой называется прямая призма (у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям), в основании которой лежит правильный многоугольник. У такой призмы боковые грани — равные прямоугольники. Ответ: Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

8. Что называется высотой призмы?

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований. Это длина любого перпендикуляра, проведённого из точки одного основания к плоскости другого. Ответ: Расстояние между плоскостями оснований призмы.

9. Что называется диагональю призмы?

Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, которые не принадлежат одной и той же грани. Ответ: Отрезок, соединяющий две вершины призмы, которые не лежат на одной грани.

10. Какой многогранник называется выпуклым?

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Иными словами, для любых двух точек внутри многогранника соединяющий их отрезок также целиком лежит внутри. Ответ: Многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

11. Что называется разверткой многогранника?

Развёрткой многогранника называется плоская фигура (обычно состоящая из многоугольников-граней, соединённых по рёбрам), которую можно согнуть по линиям сгиба, чтобы получить поверхность данного многогранника. Ответ: Плоская фигура, из которой можно сложить (склеить) поверхность многогранника.

12. Что называется площадью поверхности многогранника?

Площадью поверхности многогранника (или площадью полной поверхности) называется сумма площадей всех его граней. Ответ: Сумма площадей всех граней многогранника.

13. Как находится площадь поверхности призмы?

Площадь полной поверхности призмы находится как сумма площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания. Формула для вычисления: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{полн}$ — площадь полной поверхности, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания. Ответ: Площадь полной поверхности призмы находится как сумма площадей двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

1.1. На листе бумаги в клетку изобразите куб и параллелепипед, ана- логичные данным на рисунке 1.8.

а)

б)

Рис. 1.8

12

Решение

Чтобы изобразить куб и параллелепипед, аналогичные приведенным на рисунке, мы будем следовать методу параллельного проецирования на плоскость (в данном случае, на лист бумаги в клетку). Этот метод предполагает, что передняя грань фигуры изображается в натуральную величину, а ребра, уходящие вглубь, рисуются под определенным углом и, возможно, с изменением длины. Видимые ребра будем рисовать сплошными линиями, а невидимые — пунктирными.

Изображение куба

Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны. Все его грани — квадраты. Выберем длину ребра, отличную от примера на рисунке (где она равна 4 клеткам).
Пусть наши параметры будут:
- Длина ребра: 3 клетки.
- Проекция ребра глубины: смещение на 2 клетки влево и 2 клетки вверх (как на рисунке 1.8 б).

Порядок построения:
1. Нарисуем переднюю грань — квадрат размером 3x3 клетки.
2. От каждой вершины этого квадрата отложим отрезок, соответствующий проекции ребра глубины (смещение на 2 клетки влево и 2 клетки вверх), чтобы получить вершины задней грани.
3. Соединим вершины задней грани, получив второй квадрат 3x3.
4. Соединим соответствующие вершины передней и задней граней.
5. Обозначим невидимые ребра (три ребра, сходящиеся в самой дальней от наблюдателя вершине) пунктирной линией.

Результат построения показан на рисунке ниже.

Ответ: Изображение куба, аналогичного заданному, построено на клетчатой бумаге.

Изображение прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Выберем размеры, отличные от примера на рисунке 1.8 а (где передняя грань является квадратом 4x4).
Пусть наши параметры будут:
- Ширина: 6 клеток
- Высота: 3 клетки
- Проекция ребра глубины: смещение на 2 клетки влево и 2 клетки вверх.

Порядок построения:
1. Нарисуем переднюю грань — прямоугольник размером 6x3 клетки.
2. От каждой вершины этого прямоугольника отложим отрезок, соответствующий проекции ребра глубины (смещение на 2 клетки влево и 2 клетки вверх), чтобы получить вершины задней грани.
3. Соединим вершины задней грани. Получится второй прямоугольник 6x3.
4. Соединим соответствующие вершины передней и задней граней.
5. Обозначим невидимые ребра пунктирной линией.

Результат построения показан на рисунке ниже.

Ответ: Изображение прямоугольного параллелепипеда, аналогичного заданному, построено на клетчатой бумаге.