Страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей:

а) 8;

б) 10;

в) 12 ребер?

Решение

Чтобы определить, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, необходимо установить связь между общим количеством ребер пирамиды и количеством сторон многоугольника в ее основании.

Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. У этого многоугольника $n$ сторон, которые являются ребрами основания пирамиды. Также у этого многоугольника $n$ вершин. От каждой вершины основания к общей вершине пирамиды отходит одно боковое ребро. Следовательно, количество боковых ребер также равно $n$.

Общее количество ребер пирамиды $K$ равно сумме количества ребер основания и количества боковых ребер:

$K = n_{\text{основания}} + n_{\text{боковых}} = n + n = 2n$

Из этой формулы можно выразить количество сторон $n$ многоугольника в основании через общее количество ребер $K$:

$n = \frac{K}{2}$

Теперь мы можем решить задачу для каждого случая.

а) Дано общее количество ребер $K = 8$.

Найдем количество сторон многоугольника в основании:

$n = \frac{8}{2} = 4$

Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником.

Ответ: в основании пирамиды лежит четырехугольник.

б) Дано общее количество ребер $K = 10$.

Найдем количество сторон многоугольника в основании:

$n = \frac{10}{2} = 5$

Многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольником.

Ответ: в основании пирамиды лежит пятиугольник.

в) Дано общее количество ребер $K = 12$.

Найдем количество сторон многоугольника в основании:

$n = \frac{12}{2} = 6$

Многоугольник с шестью сторонами называется шестиугольником.

Ответ: в основании пирамиды лежит шестиугольник.

24. Сколько пар параллельных ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная призма;

г) шестиугольная призма?

Решение

Для нахождения общего количества пар параллельных ребер в каждой из заданных геометрических фигур мы будем использовать комбинаторный подход. Сначала мы определим все группы ребер, параллельных друг другу. Затем для каждой группы, содержащей $n$ ребер, мы вычислим количество пар, которое можно составить. Это количество равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Общее количество пар будет суммой пар из всех таких непересекающихся групп.

а) куб

Куб имеет 12 ребер. Эти ребра можно разделить на 3 группы взаимно параллельных ребер, соответствующих трем измерениям (длина, ширина, высота). В каждой такой группе находится по 4 ребра.

Количество пар параллельных ребер в одной такой группе из 4 ребер составляет:

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ пар.

Поскольку у куба 3 такие группы параллельных ребер, общее количество пар равно:

$3 \cdot 6 = 18$ пар.

Ответ: 18.

б) параллелепипед

Параллелепипед, как и куб, имеет 12 ребер. Эти ребра также делятся на 3 группы по 4 взаимно параллельных ребра в каждой.

Таким образом, рассуждения и вычисления полностью аналогичны случаю с кубом.

Количество пар в одной группе из 4 ребер: $C_4^2 = 6$ пар.

Общее количество пар: $3 \cdot 6 = 18$ пар.

Ответ: 18.

в) треугольная призма

Треугольная призма имеет 9 ребер: 3 боковых ребра, 3 ребра в верхнем основании и 3 ребра в нижнем основании. Разобьем их на группы параллельных ребер:

1. Группа боковых ребер. Все 3 боковых ребра параллельны друг другу. Количество пар в этой группе:

$C_3^2 = \frac{3 \cdot (3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ пары.

2. Группы ребер оснований. Каждое ребро верхнего основания параллельно соответствующему ребру нижнего основания. Это образует 3 пары параллельных ребер. В основаниях (треугольниках) нет параллельных сторон.

Сложив количество пар из обеих категорий, получаем общее количество:

$3 + 3 = 6$ пар.

Ответ: 6.

г) шестиугольная призма

Будем считать, что призма прямая, а ее основания — правильные шестиугольники. Такая призма имеет 18 ребер: 6 боковых, 6 в верхнем основании и 6 в нижнем.

1. Группа боковых ребер. Все 6 боковых ребер параллельны друг другу. Количество пар в этой группе:

$C_6^2 = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ пар.

2. Группы ребер оснований. В правильном шестиугольнике есть 3 пары параллельных сторон. Каждая сторона верхнего основания параллельна соответствующей стороне нижнего основания. Таким образом, ребра оснований можно разбить на 3 группы, в каждой из которых по 4 параллельных ребра (например, два противолежащих ребра верхнего основания и два соответствующих им ребра нижнего основания).

Количество пар в каждой такой группе из 4 ребер:

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = 6$ пар.

Так как таких групп 3, общее число пар от ребер оснований составляет:

$3 \cdot 6 = 18$ пар.

Общее число пар параллельных ребер в шестиугольной призме равно сумме пар от боковых ребер и ребер оснований:

$15 + 18 = 33$ пары.

Ответ: 33.

25. Докажите, что для параллелепипеда $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$ параллельны прямые:

a) $\text{AB}$ и $\text{D}_1\text{C}_1$;

б) $\text{AD}_1$ и $\text{BC}_1$.

а) Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны прямые $AB$ и $D_1C_1$

Решение

Рассмотрим грани параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению параллелепипеда, его основание $ABCD$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$ ($AB \parallel DC$). Боковая грань $DCC_1D_1$ также является параллелограммом. В ней противоположные стороны $DC$ и $D_1C_1$ параллельны ($DC \parallel D_1C_1$). Таким образом, мы имеем две параллельности: $AB \parallel DC$ и $DC \parallel D_1C_1$. Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей (свойство транзитивности параллельности), прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны между собой. То есть, $AB \parallel D_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны.

б) Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны прямые $AD_1$ и $BC_1$

Решение

Рассмотрим в пространстве четырехугольник $AD_1C_1B$. Чтобы доказать, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны, мы докажем, что этот четырехугольник является параллелограммом, а отрезки $AD_1$ и $BC_1$ — его противоположными сторонами. По определению параллелепипеда, его боковая грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом. Следовательно, $AD \parallel A_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Также, основание $ABCD$ является параллелограммом, поэтому $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. Из этих соотношений следует, что $A_1D_1 \parallel BC$ и $A_1D_1 = BC$. Рассмотрим четырехугольник $A_1D_1CB$. Так как у него противоположные стороны $A_1D_1$ и $BC$ равны и параллельны, то по признаку параллелограмма $A_1D_1CB$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, $A_1B \parallel D_1C$. Теперь рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$. Докажем, что он является параллелограммом, используя другую пару сторон: $AB$ и $D_1C_1$. Из пункта (а) мы знаем, что $AB \parallel D_1C_1$. Найдем длины этих сторон. Грань $ABCD$ - параллелограмм, значит $AB=DC$. Грань $DCC_1D_1$ - параллелограмм, значит $DC=D_1C_1$. Следовательно, $AB = D_1C_1$. В четырехугольнике $AD_1C_1B$ противоположные стороны $AB$ и $D_1C_1$ равны и параллельны. Значит, по признаку параллелограмма, $AD_1C_1B$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Другая пара противоположных сторон в этом четырехугольнике — это $AD_1$ и $BC_1$. Следовательно, $AD_1 \parallel BC_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны.

26. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые:

а) $AB$ и $E_1D_1$;

б) $AA_1$ и $DD_1$;

в) $AC_1$ и $FD_1$.

а)

Решение:
1. Так как призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ является правильной, её основания ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ — это правильные шестиугольники. Плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.
2. Верхнее основание A₁B₁C₁D₁E₁F₁ является результатом параллельного переноса нижнего основания ABCDEF. Следовательно, соответствующие стороны оснований параллельны. В частности, сторона E₁D₁ верхнего основания параллельна стороне ED нижнего основания: $E_1D_1 \parallel ED$.
3. В правильном шестиугольнике ABCDEF противолежащие стороны параллельны. Стороны AB и ED являются противолежащими, следовательно, $AB \parallel ED$.
4. Имеем два факта: $AB \parallel ED$ и $E_1D_1 \parallel ED$. Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей, прямые AB и E₁D₁ параллельны между собой: $AB \parallel E_1D_1$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Прямые AB и E₁D₁ параллельны.

б)

Решение:
1. По определению призмы, её боковые рёбра — это отрезки, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Прямые AA₁ и DD₁ содержат боковые рёбра призмы.
2. В любой призме по определению все боковые рёбра параллельны друг другу. Это свойство следует из того, что призма может быть образована параллельным переносом одного основания на место другого, при котором все вершины перемещаются по параллельным траекториям.
3. Следовательно, прямая AA₁, содержащая боковое ребро AA₁, параллельна прямой DD₁, содержащей боковое ребро DD₁.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Прямые AA₁ и DD₁ параллельны.

в)

Решение:
Для доказательства параллельности прямых AC₁ и FD₁ докажем равенство векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$.
1. Используя правило сложения векторов, выразим векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$:
$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$
$\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$
2. Так как ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ — призма, её боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие боковым рёбрам, равны: $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.
3. Из этого следует, что равенство $\vec{AC_1} = \vec{FD_1}$ будет верным, если будет верным равенство $\vec{AC} = \vec{FD}$.
4. Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник ABCDEF. Докажем, что в нём $\vec{AC} = \vec{FD}$. Для этого рассмотрим четырёхугольник ACDF.
5. В правильном шестиугольнике большие диагонали (соединяющие противолежащие вершины), такие как AD и CF, пересекаются в центре шестиугольника O и делятся этой точкой пополам.
6. Поскольку диагонали четырёхугольника ACDF (диагонали AD и CF) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то по признаку параллелограмма четырёхугольник ACDF является параллелограммом.
7. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона AC параллельна стороне FD, и их длины равны ($AC = FD$). Направление от вершины A к C совпадает с направлением от F к D. Таким образом, векторы, лежащие на этих сторонах, равны: $\vec{AC} = \vec{FD}$.
8. Так как $\vec{AC} = \vec{FD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$, то и $\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$, что означает $\vec{AC_1} = \vec{FD_1}$.
9. Равенство векторов означает, что они коллинеарны (параллельны) и одинаково направлены. Следовательно, прямые AC₁ и FD₁, содержащие эти векторы, параллельны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Прямые AC₁ и FD₁ параллельны.

27. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная пирамида;

г) шестиугольная пирамида?

Скрещивающиеся рёбра — это рёбра, которые лежат на скрещивающихся прямых, то есть не пересекаются и не являются параллельными. Для нахождения общего количества пар скрещивающихся рёбер в многограннике, мы будем находить их для каждой фигуры.

а) куб

Куб имеет 12 рёбер. Рассмотрим одно произвольное ребро. С этим ребром:
- пересекаются 4 других ребра (по два ребра в каждой из двух вершин, принадлежащих исходному ребру);
- параллельны ему 3 других ребра.
Следовательно, количество рёбер, скрещивающихся с выбранным ребром, равно: $12 - 1$ (само ребро) $- 4$ (пересекающихся) $- 3$ (параллельных) $= 4$ ребра.
Поскольку в кубе 12 рёбер, и для каждого из них есть 4 скрещивающихся, общее число пар можно найти, умножив количество рёбер на количество скрещивающихся с ним рёбер и разделив на 2 (чтобы не учитывать каждую пару дважды):
$N = \frac{12 \times 4}{2} = 24$.
Ответ: 24.

б) параллелепипед

Параллелепипед, как и куб, является многогранником с 12 рёбрами, 8 вершинами и 6 гранями. Структура связей между рёбрами (кто с кем пересекается, кто кому параллелен) у него точно такая же, как у куба. Это не зависит от углов между рёбрами или от формы граней (которые являются параллелограммами).
Поэтому рассуждения и вычисления полностью аналогичны случаю с кубом.
Для каждого из 12 рёбер существует 4 скрещивающихся с ним ребра.
Общее количество пар скрещивающихся рёбер: $N = \frac{12 \times 4}{2} = 24$.
Ответ: 24.

в) треугольная пирамида

Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 6 рёбер и 4 вершины.
Рассмотрим любое ребро. С ним пересекаются все рёбра, выходящие из его вершин (кроме него самого). Таких рёбер 4 (по два из каждой вершины).
В общем случае в треугольной пирамиде нет параллельных рёбер.
Количество рёбер, скрещивающихся с выбранным, равно: $6 - 1$ (само ребро) $- 4$ (пересекающихся) $= 1$ ребро.
Таким образом, для каждого из 6 рёбер существует ровно одно скрещивающееся с ним ребро. Все 6 рёбер разбиваются на 3 пары скрещивающихся. Например, если вершины пирамиды A, B, C, D, то пары скрещивающихся рёбер это (AB, CD), (AC, BD) и (AD, BC).
Общее количество пар: $N = \frac{6 \times 1}{2} = 3$.
Ответ: 3.

г) шестиугольная пирамида

Шестиугольная пирамида имеет 12 рёбер: 6 рёбер в основании и 6 боковых рёбер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды. Будем считать, что в основании лежит правильный шестиугольник, как это обычно подразумевается в таких задачах.
Подсчитаем количество пар скрещивающихся рёбер, разбив их на три группы.
1. Оба ребра лежат в основании.
Основание — правильный шестиугольник. Общее число пар рёбер в нём $C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$. Из них 6 пар — это смежные (пересекающиеся) рёбра. В правильном шестиугольнике есть 3 пары параллельных противолежащих рёбер. Таким образом, количество пар скрещивающихся рёбер в основании: $15 - 6$ (пересекающихся) $- 3$ (параллельных) $= 6$.
2. Оба ребра — боковые.
Все 6 боковых рёбер пересекаются в одной точке — вершине пирамиды. Следовательно, среди них нет скрещивающихся пар. Количество таких пар равно 0.
3. Одно ребро в основании, другое — боковое.
Возьмём любое из 6 рёбер основания. С ним пересекаются два боковых ребра (те, что выходят из его вершин). Остальные $6 - 2 = 4$ боковых ребра будут скрещиваться с выбранным ребром основания, так как они не лежат с ним в одной плоскости и не параллельны ему.
Поскольку рёбер основания 6, а для каждого из них есть 4 скрещивающихся боковых ребра, то общее число таких пар равно $6 \times 4 = 24$.
Суммируя все случаи, получаем общее количество пар скрещивающихся рёбер:
$N = 6$ (основание-основание) $+ 0$ (боковое-боковое) $+ 24$ (основание-боковое) $= 30$.
Ответ: 30.

28. Как расположены прямые:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC_1$ и $BD_1$,

проходящие через вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?

Для определения взаимного расположения прямых в пространстве, проходящих через вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, рассмотрим каждую пару отдельно.

Решение
Прямая $AB_1$ является диагональю передней грани куба $ABB_1A_1$. Прямая $BC_1$ является диагональю боковой (правой) грани куба $BCC_1B_1$. Эти прямые не лежат в одной плоскости. Если бы они лежали в одной плоскости, то все четыре точки $A, B_1, B, C_1$ принадлежали бы этой плоскости. Однако точки $A, B, B_1$ однозначно задают плоскость грани $ABB_1A_1$, а точка $C_1$ этой плоскости не принадлежит. Прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Они не пересекаются и не параллельны. Можно также доказать, что они не пересекаются, рассмотрев плоскости, в которых они лежат. Плоскости $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ пересекаются по ребру $BB_1$. Точка возможного пересечения прямых $AB_1$ и $BC_1$ должна лежать на этом ребре. Но прямая $AB_1$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $B_1$, а прямая $BC_1$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $B$. Так как точки $B$ и $B_1$ различны, прямые не имеют общих точек. Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

Решение
Прямая $AA_1$ — это боковое ребро куба. Прямая $BD_1$ соединяет вершину $B$ нижнего основания и вершину $D_1$ верхнего основания. Воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Рассмотрим плоскость левой грани $ADD_1A_1$. Прямая $AA_1$ целиком лежит в этой плоскости. Прямая $BD_1$ пересекает эту плоскость в точке $D_1$ (так как точка $D_1$ принадлежит ей, а точка $B$ — нет). Точка пересечения $D_1$ не лежит на прямой $AA_1$. Следовательно, по указанному признаку, прямые $AA_1$ и $BD_1$ скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

Решение
Прямые $AC_1$ и $BD_1$ являются большими (пространственными) диагоналями куба. Рассмотрим четырехугольник $ABC_1D_1$. В кубе ребро $AB$ параллельно и равно ребру $D_1C_1$. По признаку параллелограмма (если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм), четырехугольник $ABC_1D_1$ является параллелограммом. Диагонали параллелограмма ($AC_1$ и $BD_1$) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BD_1$ пересекаются. Точка их пересечения является центром симметрии куба.
Ответ: пересекающиеся.

29. Как расположены прямые:

а) $AB_1$ и $CD_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC_1$ и $BF_1$,

проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$?

30. Покажите, что для параллелограмма ABCD прямые:

а) AA

Для определения взаимного расположения прямых в пространстве необходимо выяснить, являются ли они параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. В основе призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ лежит правильный шестиугольник.

а) $AB_1$ и $CD_1$

Решение

Две прямые в пространстве являются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Докажем, что прямые $AB_1$ и $CD_1$ не лежат в одной плоскости.

Предположим, что прямые $AB_1$ и $CD_1$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Эта плоскость $\alpha$ пересекает два параллельных основания призмы, $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью должны быть параллельны.

Плоскость $\alpha$ содержит точки $A$ и $C$ из нижнего основания, значит, она пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $AC$.

Плоскость $\alpha$ содержит точки $B_1$ и $D_1$ из верхнего основания, значит, она пересекает плоскость $(A_1B_1C_1)$ по прямой $B_1D_1$.

Следовательно, прямые $AC$ и $B_1D_1$ должны быть параллельны.

Однако в правильном шестиугольнике $AC$ является малой диагональю, а $B_1D_1$ — большой диагональю. Если сторона шестиугольника равна $a$, то длина $AC$ равна $a\sqrt{3}$, а длина $B_1D_1$ равна $2a$. Кроме того, эти диагонали не параллельны друг другу по направлению. Так как $AC \nparallel B_1D_1$, наше первоначальное предположение неверно, и точки $A, C, B_1, D_1$ не лежат в одной плоскости. Значит, прямые $AB_1$ и $CD_1$ не могут лежать в одной плоскости.

Так как прямые не лежат в одной плоскости, они не могут быть ни параллельными, ни пересекающимися. Следовательно, они скрещиваются.

Ответ: Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися.

б) $AA_1$ и $BD_1$

Решение

Рассмотрим взаимное расположение прямых $AA_1$ и $BD_1$.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскостям оснований. Прямая $AA_1$ полностью лежит в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$.

Прямая $BD_1$ соединяет вершину $B$ нижнего основания и вершину $D_1$ верхнего основания.

Точка $B$ принадлежит плоскости грани $ABB_1A_1$. Точка $D_1$ не принадлежит этой плоскости, так как в правильной шестиугольной призме вершины $A, B, D_1$ не лежат в одной плоскости грани.

Следовательно, прямая $BD_1$ пересекает плоскость $ABB_1A_1$ в единственной точке $B$.

Точка $B$ не лежит на прямой $AA_1$, так как $A$ и $B$ — разные вершины основания.

Таким образом, прямая $BD_1$ пересекает плоскость, содержащую прямую $AA_1$, в точке, не принадлежащей прямой $AA_1$. Это означает, что прямые $AA_1$ и $BD_1$ не пересекаются.

Прямые также не параллельны, так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, а прямая $BD_1$ является наклонной к этой плоскости (ее проекция на плоскость основания — отрезок $BD$, а не точка).

Поскольку прямые не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $AA_1$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.

в) $AC_1$ и $BF_1$

Решение

Чтобы определить взаимное расположение прямых $AC_1$ и $BF_1$, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Две прямые лежат в одной плоскости, если они параллельны или пересекаются. Проверим, являются ли точки $A, B, C_1, F_1$ компланарными (лежащими в одной плоскости).

Для этого введем систему координат с центром в центре нижнего основания $O(0,0,0)$ и осью $Ox$, проходящей через вершину $A$. Пусть сторона шестиугольника равна $a$, а высота призмы — $h$.

Координаты вершин будут следующими:

$A(a, 0, 0)$

$B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Найдем векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC_1}$ и $\vec{AF_1}$:

$\vec{AB} = B - A = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$\vec{AF_1} = F_1 - A = (\frac{a}{2} - a, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Точки $A, B, C_1, F_1$ компланарны, если смешанное произведение векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC_1}$ и $\vec{AF_1}$ равно нулю. Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов:

$(\vec{AB} \times \vec{AC_1}) \cdot \vec{AF_1} = \begin{vmatrix} -\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{3a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & h \\ -\frac{a}{2} & -\frac{a\sqrt{3}}{2} & h \end{vmatrix} =$

$= -\frac{a}{2} (\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot h - h \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2})) - \frac{a\sqrt{3}}{2} (-\frac{3a}{2} \cdot h - h \cdot (-\frac{a}{2})) + 0 =$

$= -\frac{a}{2} (\frac{ah\sqrt{3}}{2} + \frac{ah\sqrt{3}}{2}) - \frac{a\sqrt{3}}{2} (-\frac{3ah}{2} + \frac{ah}{2}) =$

$= -\frac{a}{2} (ah\sqrt{3}) - \frac{a\sqrt{3}}{2} (-ah) = -\frac{a^2h\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2h\sqrt{3}}{2} = 0$

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны, а значит, точки $A, B, C_1, F_1$ лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BF_1$ лежат в одной плоскости.

Проверим, не параллельны ли они. Для этого сравним их направляющие векторы $\vec{AC_1} = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$ и $\vec{BF_1} = F_1 - B = (\frac{a}{2}-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{2}, h-0) = (0, -a\sqrt{3}, h)$. Векторы не коллинеарны (их координаты не пропорциональны), значит, прямые не параллельны.

Поскольку прямые лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются.

Ответ: Прямые $AC_1$ и $BF_1$ являются пересекающимися.

30. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые:

а) $AA_1$ и $BD$;

б) $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

а)Докажем, что прямые $AA_1$ и $BD_1$ скрещиваются, используя признак скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

1. Рассмотрим плоскость боковой грани $ADD_1A_1$. Прямая $AA_1$ является ребром этой грани, следовательно, она целиком лежит в этой плоскости: $AA_1 \subset (ADD_1A_1)$.

2. Рассмотрим прямую $BD_1$. Точка $D_1$ принадлежит плоскости $(ADD_1A_1)$, так как является вершиной этой грани. Точка $B$ не принадлежит плоскости $(ADD_1A_1)$, так как в противном случае все вершины параллелепипеда лежали бы в одной плоскости, что невозможно для невырожденного параллелепипеда.

3. Поскольку точка $D_1$ прямой $BD_1$ лежит в плоскости $(ADD_1A_1)$, а точка $B$ не лежит в ней, прямая $BD_1$ пересекает плоскость $(ADD_1A_1)$. Точкой пересечения является точка $D_1$.

4. Точка пересечения $D_1$ не принадлежит прямой $AA_1$. Точки $A$, $A_1$ и $D_1$ являются вершинами параллелограмма $ADD_1A_1$ и не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой).

5. Таким образом, прямая $BD_1$ пересекает плоскость $(ADD_1A_1)$, в которой лежит прямая $AA_1$, в точке ($D_1$), не принадлежащей прямой $AA_1$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $BD_1$ скрещиваются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)Докажем, что прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются, используя тот же признак.

1. Рассмотрим плоскость боковой грани $ABB_1A_1$. Прямая $BB_1$ является ребром этой грани и, следовательно, полностью лежит в этой плоскости: $BB_1 \subset (ABB_1A_1)$.

2. Рассмотрим диагональ параллелепипеда $AC_1$. Точка $A$ принадлежит плоскости $(ABB_1A_1)$, являясь вершиной этой грани. Точка $C_1$ не принадлежит плоскости $(ABB_1A_1)$, так как она является вершиной параллельной грани $CDD_1C_1$ и не может лежать в плоскости $(ABB_1A_1)$ в невырожденном параллелепипеде.

3. Поскольку точка $A$ прямой $AC_1$ лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$, а точка $C_1$ не лежит в ней, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABB_1A_1)$ в точке $A$.

4. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BB_1$. Точки $A$, $B$ и $B_1$ — это вершины параллелограмма $ABB_1A_1$ и не лежат на одной прямой.

5. Таким образом, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABB_1A_1)$, в которой лежит прямая $BB_1$, в точке ($A$), не принадлежащей прямой $BB_1$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

...и $BD$,

c) $AC_1$ и $DD_1$ скрещиваются.

31. Докажите, что для пирамиды $SABCDEF$ прямые $SA$ и:

а) $BC$;

б) $CD$ скрещиваются.

Дано:

SABCDEF — шестиугольная пирамида с вершиной S и основанием ABCDEF.

Найти:

Доказать, что скрещиваются прямые:

а) SA и BC

б) SA и CD

Решение:

Для доказательства обоих пунктов воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

В качестве такой плоскости выберем плоскость основания пирамиды $(ABC)$.

а) BC

1. Прямая BC является стороной основания пирамиды, следовательно, она целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$. Запишем это как $BC \subset (ABC)$.

2. Прямая SA является боковым ребром пирамиды. Точка A принадлежит прямой SA и лежит в плоскости основания $(ABC)$. Вершина S, по определению пирамиды, не лежит в плоскости основания, то есть $S \notin (ABC)$. Следовательно, прямая SA пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке A.

3. Точки A, B, C являются последовательными вершинами шестиугольника в основании. Следовательно, они не лежат на одной прямой, и точка A не принадлежит прямой BC ($A \notin BC$).

4. Таким образом, имеем: прямая BC лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая SA пересекает эту плоскость в точке A, которая не принадлежит прямой BC. По признаку скрещивающихся прямых, прямые SA и BC скрещиваются.

Ответ: Прямые SA и BC скрещиваются, что и требовалось доказать.

б) CD

1. Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Прямая CD является стороной основания, поэтому она целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$. Запишем это как $CD \subset (ABC)$.

2. Прямая SA, как было показано ранее, пересекает плоскость $(ABC)$ в точке A.

3. Точки A, C, D являются вершинами шестиугольника ABCDEF. В невырожденном шестиугольнике эти три вершины не могут лежать на одной прямой. Следовательно, точка A не принадлежит прямой CD ($A \notin CD$).

4. Итак, прямая CD лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая SA пересекает эту плоскость в точке A, не принадлежащей прямой CD. По признаку скрещивающихся прямых делаем вывод, что прямые SA и CD скрещиваются.

Ответ: Прямые SA и CD скрещиваются, что и требовалось доказать.

32. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ прямые:

a) $AA_1$ и $BC$;

б) $AC_1$ и $BD$;

в) $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются.

а) Доказательство для прямых $AA_1$ и $BC$

Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Прямая $BC$ является стороной основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и, следовательно, целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.
Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Прямая $AA_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке – точке $A$.
Точка $A$ не принадлежит прямой $BC$, так как $A, B, C$ – последовательные вершины шестиугольника и не лежат на одной прямой.
Таким образом, одна прямая ($BC$) лежит в плоскости $(ABC)$, а другая прямая ($AA_1$) пересекает эту плоскость в точке ($A$), не принадлежащей первой прямой. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются.
Ответ: Доказано.

б) Доказательство для прямых $AC_1$ и $BD$

Воспользуемся тем же признаком скрещивающихся прямых.
Прямая $BD$ является диагональю основания призмы и целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.
Прямая $AC_1$ является диагональю призмы, соединяющей вершину $A$ нижнего основания и вершину $C_1$ верхнего основания. Так как точка $A$ принадлежит плоскости $(ABC)$, а точка $C_1$ не принадлежит этой плоскости, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке – точке $A$.
Точка пересечения $A$ не лежит на прямой $BD$, так как $A, B, D$ – это вершины правильного шестиугольника, которые не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой).
Итак, прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BD$. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются.
Ответ: Доказано.

в) Доказательство для прямых $AB$ и $B_1C_1$

Чтобы доказать, что прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются, нужно показать, что они не пересекаются и не параллельны.
Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$.
В призме плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. Так как прямые лежат в разных параллельных плоскостях, они не могут пересекаться.
Теперь докажем, что прямые не параллельны. В правильной шестиугольной призме боковые грани являются прямоугольниками, а основания – равными правильными шестиугольниками. Следовательно, сторона $AB$ нижнего основания параллельна соответствующей стороне $A_1B_1$ верхнего основания ($AB \parallel A_1B_1$).
В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника, а значит, они пересекаются в точке $B_1$ и не параллельны.
Предположим, что $AB \parallel B_1C_1$. Так как $AB \parallel A_1B_1$, то по свойству транзитивности параллельных прямых мы бы получили, что $A_1B_1 \parallel B_1C_1$. Это противоречит тому, что $A_1B_1$ и $B_1C_1$ – смежные стороны шестиугольника. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны.
Поскольку прямые $AB$ и $B_1C_1$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано.

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, укажите грани, параллельные прямой:

а) $AD$;

б) $AB_1$;

В основе правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ лежат два правильных шестиугольника $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а боковые грани являются прямоугольниками.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

а) AD

Рассмотрим прямую $AD$. Эта прямая является большой диагональю нижнего основания призмы – правильного шестиугольника $ABCDEF$.

1. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Также большие диагонали параллельны некоторым сторонам. В частности, большая диагональ $AD$ параллельна сторонам $BC$ и $FE$.

- Так как прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$), а прямая $BC$ лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, то прямая $AD$ параллельна грани $BCC_1B_1$.

- Так как прямая $AD$ параллельна прямой $FE$ ($AD \parallel FE$), а прямая $FE$ лежит в плоскости боковой грани $FEE_1F_1$, то прямая $AD$ параллельна грани $FEE_1F_1$.

2. Плоскости оснований призмы параллельны: $(ABCDEF) \parallel (A_1B_1C_1D_1E_1F_1)$. Прямая $AD$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABCDEF)$. Любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. Следовательно, прямая $AD$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Другие боковые грани ($ABB_1A_1$, $CDD_1C_1$, $DEE_1D_1$, $AFF_1A_1$) пересекаются с прямой $AD$ в точках $A$ или $D$, поэтому не могут быть ей параллельны.

Таким образом, три грани призмы параллельны прямой $AD$.

Ответ: $BCC_1B_1$, $FEE_1F_1$, $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

б) AB₁

Рассмотрим прямую $AB_1$. Эта прямая является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

1. Проверим грани, которые пересекаются с прямой $AB_1$.

- Прямая $AB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$, поэтому не параллельна ей.

- Прямая $AB_1$ пересекает грань $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в точке $B_1$, поэтому не параллельна ей.

- Прямая $AB_1$ пересекает грань $ABCDEF$ в точке $A$, поэтому не параллельна ей.

- Прямая $AB_1$ пересекает ребро $BB_1$, которое является общим для граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Точка $B_1$ принадлежит обеим прямым $AB_1$ и $BB_1$, значит прямая $AB_1$ пересекает грань $BCC_1B_1$ в точке $B_1$. Следовательно, они не параллельны.

- Аналогично, прямая $AB_1$ пересекает грань $AFF_1A_1$ в точке $A$. Следовательно, они не параллельны.

2. Осталось проверить боковые грани $CDD_1C_1$, $DEE_1D_1$ и $EFF_1E_1$. Воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AF}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$. Вектор, задающий прямую $AB_1$, равен $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$.

- Рассмотрим грань $DEE_1D_1$. Эта грань является прямоугольником, ее плоскость задается векторами $\vec{DE}$ и $\vec{DD_1}$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{DE} = \vec{BA} = -\vec{a}$. Боковое ребро $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Прямая $AB_1$ будет параллельна плоскости $(DEE_1D_1)$, если ее направляющий вектор $\vec{AB_1}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DD_1}$.

$\vec{AB_1} = k_1 \cdot \vec{DE} + k_2 \cdot \vec{DD_1}$

$\vec{a} + \vec{c} = k_1(-\vec{a}) + k_2(\vec{c})$

34. Докажите, что для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ ребро $AB$ параллельно грани $SDE$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.

Найти:

Доказать, что ребро AB параллельно грани SDE.

Решение:

1. В основании правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиугольник ABCDEF. По определению, у правильного шестиугольника все стороны равны и все углы равны.

2. Одним из свойств правильного шестиугольника является то, что его противолежащие стороны параллельны. В шестиугольнике ABCDEF сторонами, противолежащими стороне AB, является сторона DE.

3. Следовательно, исходя из свойств правильного шестиугольника, мы можем утверждать, что прямая AB параллельна прямой DE, то есть $AB \parallel DE$.

4. Рассмотрим грань пирамиды SDE. Эта грань представляет собой плоскость, проходящую через точки S, D, E. Прямая DE является одной из сторон треугольника SDE и, следовательно, целиком лежит в плоскости этой грани: $DE \subset (SDE)$.

5. Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

6. В нашем случае:

- Прямая AB не лежит в плоскости грани SDE.

- Прямая AB параллельна прямой DE ($AB \parallel DE$).

- Прямая DE лежит в плоскости грани SDE ($DE \subset (SDE)$).

Из этих трех утверждений по признаку параллельности прямой и плоскости следует, что прямая AB параллельна плоскости грани SDE.

Ответ:

Что и требовалось доказать.

35. Сколько пар параллельных граней имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная призма;

г) шестиугольная призма?

а) Куб имеет 6 граней. Эти грани образуют 3 пары противоположных граней, которые лежат в параллельных плоскостях. Парами являются: верхняя и нижняя грани, передняя и задняя грани, а также левая и правая грани. Таким образом, у куба 3 пары параллельных граней.
Ответ: $3$

б) Параллелепипед — это многогранник, у которого все грани являются параллелограммами. По определению параллелепипеда, его противоположные грани попарно параллельны. Так как у него 6 граней, они образуют 3 пары параллельных граней.
Ответ: $3$

в) Треугольная призма имеет два основания в виде треугольников, которые расположены в параллельных плоскостях. Эти два основания образуют одну пару параллельных граней. Три боковые грани, являющиеся параллелограммами, не параллельны друг другу, так как они пересекаются по боковым рёбрам. Следовательно, треугольная призма имеет только одну пару параллельных граней.
Ответ: $1$

г) Шестиугольная призма имеет два основания в виде шестиугольников. Эти основания параллельны друг другу и составляют одну пару параллельных граней. Боковых граней у призмы шесть. Если в основании призмы лежит правильный шестиугольник (у которого есть три пары параллельных сторон), то соответствующие боковые грани также будут попарно параллельны. Это добавляет еще три пары параллельных граней. В итоге общее количество пар параллельных граней равно $1$ (основания) $+ 3$ (боковые грани) $= 4$.
Ответ: $4$

36. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

a) $ABB_1$ и $EDD_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

По условию дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это означает, что ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) параллельны друг другу и перпендикулярны плоскостям оснований.

Для доказательства параллельности двух плоскостей будем использовать признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

а) Докажем, что плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $EDD_1$.

1. Рассмотрим плоскость $(ABB_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, $AB$ и $BB_1$. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания, а $BB_1$ является боковым ребром.

2. Рассмотрим плоскость $(EDD_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, $ED$ и $DD_1$. Прямая $ED$ лежит в плоскости основания, а $DD_1$ является боковым ребром.

3. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel ED$.

4. По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны. Следовательно, $BB_1 \parallel DD_1$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $AB$ и $BB_1$ плоскости $(ABB_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $ED$ и $DD_1$ плоскости $(EDD_1)$. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ABB_1)$ параллельна плоскости $(EDD_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что плоскость $ACC_1$ параллельна плоскости $FDD_1$.

1. Рассмотрим диагональную плоскость $(ACC_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, диагональю основания $AC$ и боковым ребром $CC_1$.

2. Рассмотрим диагональную плоскость $(FDD_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, диагональю основания $FD$ и боковым ребром $DD_1$.

3. Боковые ребра $CC_1$ и $DD_1$ параллельны по определению призмы, так как оба они являются боковыми ребрами: $CC_1 \parallel DD_1$.

4. Рассмотрим диагонали $AC$ и $FD$ в основании $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны $CD$ и $AF$ параллельны и равны. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $ACDF$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, значит $AC \parallel FD$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $AC$ и $CC_1$ плоскости $(ACC_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $FD$ и $DD_1$ плоскости $(FDD_1)$. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ACC_1)$ параллельна плоскости $(FDD_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

37. Сколько пар перпендикулярных ребер имеет:

а) правильный тетраэдр;

б) куб?

а) правильный тетраэдр

Решение:
Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Он имеет 6 ребер. Рассмотрим два типа пар ребер:
1. Пересекающиеся ребра. В каждой вершине сходятся три ребра. Эти ребра являются сторонами одной грани (равностороннего треугольника), поэтому угол между любой парой таких ребер составляет $60^\circ$. Следовательно, среди пересекающихся ребер перпендикулярных пар нет.
2. Скрещивающиеся ребра. Это ребра, которые не пересекаются и не параллельны. В правильном тетраэдре существует ровно 3 пары скрещивающихся ребер. Для тетраэдра с вершинами A, B, C, D это пары: (AB и CD), (AC и BD), (AD и BC). Доказано, что в правильном тетраэдре все три пары скрещивающихся ребер взаимно перпендикулярны.
Таким образом, общее количество пар перпендикулярных ребер в правильном тетраэдре равно 3.
Ответ: 3 пары.

б) куб

Решение:
Куб — это многогранник, все шесть граней которого являются квадратами. Он имеет 12 ребер. Пары перпендикулярных ребер могут быть пересекающимися или скрещивающимися.
1. Пересекающиеся перпендикулярные ребра. Ребра куба пересекаются в его 8 вершинах. В каждой вершине сходятся три ребра, которые взаимно перпендикулярны друг другу (так как грани — квадраты). В каждой вершине из этих трех ребер можно образовать $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ пары перпендикулярных ребер.
Общее число таких пар по всем вершинам: $8 \text{ вершин} \times 3 \text{ пары/вершина} = 24$ пары.
2. Скрещивающиеся перпендикулярные ребра. Ребра куба можно разделить на три группы по четыре взаимно параллельных ребра. Ребра из разных групп (например, одно параллельно оси Ox, другое — оси Oy) являются перпендикулярными.
Рассмотрим одно произвольное ребро. С ним скрещиваются (не пересекаются и не параллельны) 4 других ребра, и все они ему перпендикулярны.
Поскольку у куба 12 ребер, и каждое образует пару с 4 скрещивающимися перпендикулярными ребрами, мы можем посчитать общее количество таких пар. Чтобы не считать каждую пару дважды (например, пару ребер (A, B) и (B, A)), результат нужно разделить на 2:
$\frac{12 \text{ ребер} \times 4}{2} = 24$ пары.
Общее количество пар. Складываем количество пересекающихся и скрещивающихся перпендикулярных пар:
$24 + 24 = 48$ пар.
Ответ: 48 пар.

38. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AC$ и $BD_1$;

в) $AB_1$ и $CD_1$.

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$...

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

Найти:

а) Угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

б) Угол между прямыми $AC$ и $BD_1$.

в) Угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.

а) $AB_1$ и $BC_1$

Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос одной из прямых. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Прямая $AD_1$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Так как грани $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны и равны, а отрезки $BC_1$ и $AD_1$ являются их соответствующими диагоналями, то $BC_1 \parallel AD_1$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$. Этот угол — $\angle B_1AD_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Его стороны:

- $AB_1$ — диагональ грани (квадрата) $ABB_1A_1$. Ее длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

- $AD_1$ — диагональ грани (квадрата) $ADD_1A_1$. Ее длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

- $B_1D_1$ — диагональ грани (квадрата) $A_1B_1C_1D_1$. Ее длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны ($AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2}$), то этот треугольник является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Таким образом, угол $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $AC$ и $BD_1$

Прямая $AC$ является диагональю основания $ABCD$. Прямая $BD_1$ является пространственной диагональю куба. Эти прямые скрещиваются. Докажем, что они перпендикулярны.

Рассмотрим проекцию прямой $BD_1$ на плоскость основания $ABCD$. Проекцией точки $B$ на эту плоскость является сама точка $B$. Проекцией точки $D_1$ на эту плоскость является точка $D$. Следовательно, проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABCD$ является прямая $BD$.

В основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. В нашем случае $BD_1$ — наклонная, $BD$ — ее проекция на плоскость $ABCD$, а $AC$ — прямая в этой плоскости. Так как $BD \perp AC$, то и $BD_1 \perp AC$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) $AB_1$ и $CD_1$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $CD_1$ на вектор $\vec{CB}$. При этом точка $C$ перейдет в точку $B$, а точка $D_1$ — в точку $A_1$. Таким образом, прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $BA_1$.

Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями одной и той же грани — квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $BA_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми:

a) $AA_1$ и $CD_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC$ и $BE_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.
Все ребра равны 1, то есть сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

а) Угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$.
б) Угол между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.
в) Угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.

Решение:

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Высота призмы $AA_1$ также равна 1. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

а) Найти угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$

Прямые $AA_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.

Боковое ребро $AA_1$ параллельно боковому ребру $DD_1$. Следовательно, искомый угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$ равен углу между прямыми $DD_1$ и $CD_1$. Эти прямые пересекаются в точке $D_1$, образуя угол $\angle CD_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CDD_1$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Значит, ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D$, в том числе и ребру $CD$. Таким образом, $\angle CDD_1 = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle CDD_1$ — прямоугольный.

По условию, длины катетов равны:

- $CD = 1$ (сторона основания).

- $DD_1 = 1$ (высота призмы).

Так как катеты равны, $\triangle CDD_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе равны $45^\circ$. Угол $\angle CD_1D$ можно найти через тангенс:

$\tan(\angle CD_1D) = \frac{CD}{DD_1} = \frac{1}{1} = 1$.

Отсюда следует, что $\angle CD_1D = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) Найти угол между прямыми $AA_1$ и $BD_1$

Прямые $AA_1$ и $BD_1$ также скрещивающиеся. Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол будет равен углу между прямыми $DD_1$ и $BD_1$, то есть углу $\angle BD_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BDD_1$.

Ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию, значит $DD_1 \perp BD$. Следовательно, $\triangle BDD_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

Длина катета $DD_1 = 1$. Найдем длину катета $BD$, который является диагональю основания.

В основании лежит правильный шестиугольник. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. В нем $BC = 1$, $CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\angle BCD = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

По теореме косинусов для $\triangle BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle BDD_1$. Мы знаем длины катетов: $BD = \sqrt{3}$ и $DD_1 = 1$. Найдем тангенс угла $\angle BD_1D$:

$\tan(\angle BD_1D) = \frac{BD}{DD_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\angle BD_1D = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

в) Найти угол между прямыми $AC$ и $BE_1$

Прямые $AC$ и $BE_1$ скрещивающиеся. Для нахождения угла между ними воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Прямая $BE_1$ является наклонной к плоскости основания $ABCDEF$. Так как боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания ($EE_1 \perp \text{пл.}(ABCDEF)$), то прямая $BE$ является проекцией наклонной $BE_1$ на эту плоскость. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания.

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BE$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($BE_1$) перпендикулярна этой прямой.

Проверим, перпендикулярны ли диагонали $AC$ и $BE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Для этого введем на плоскости основания систему координат с центром в центре шестиугольника $O(0,0)$ и вершиной $A$ на оси абсцисс, $A(1,0)$. Координаты других вершин при стороне $a=1$:

$A(1, 0)$
$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$C(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$E(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем угловые коэффициенты (наклоны) прямых $AC$ и $BE$:

$m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$m_{BE} = \frac{y_E - y_B}{x_E - x_B} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}$.

Найдем произведение угловых коэффициентов:

$m_{AC} \cdot m_{BE} = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{3}) = -1$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов равно -1, прямые $AC$ и $BE$ перпендикулярны.

Итак, мы показали, что $AC \perp BE$. По теореме о трех перпендикулярах, отсюда следует, что $AC \perp BE_1$.

Значит, угол между прямыми $AC$ и $BE_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$