Номер 37, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Сколько пар перпендикулярных ребер имеет:

а) правильный тетраэдр;

б) куб?

а) правильный тетраэдр

Решение:
Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Он имеет 6 ребер. Рассмотрим два типа пар ребер:
1. Пересекающиеся ребра. В каждой вершине сходятся три ребра. Эти ребра являются сторонами одной грани (равностороннего треугольника), поэтому угол между любой парой таких ребер составляет $60^\circ$. Следовательно, среди пересекающихся ребер перпендикулярных пар нет.
2. Скрещивающиеся ребра. Это ребра, которые не пересекаются и не параллельны. В правильном тетраэдре существует ровно 3 пары скрещивающихся ребер. Для тетраэдра с вершинами A, B, C, D это пары: (AB и CD), (AC и BD), (AD и BC). Доказано, что в правильном тетраэдре все три пары скрещивающихся ребер взаимно перпендикулярны.
Таким образом, общее количество пар перпендикулярных ребер в правильном тетраэдре равно 3.
Ответ: 3 пары.

б) куб

Решение:
Куб — это многогранник, все шесть граней которого являются квадратами. Он имеет 12 ребер. Пары перпендикулярных ребер могут быть пересекающимися или скрещивающимися.
1. Пересекающиеся перпендикулярные ребра. Ребра куба пересекаются в его 8 вершинах. В каждой вершине сходятся три ребра, которые взаимно перпендикулярны друг другу (так как грани — квадраты). В каждой вершине из этих трех ребер можно образовать $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ пары перпендикулярных ребер.
Общее число таких пар по всем вершинам: $8 \text{ вершин} \times 3 \text{ пары/вершина} = 24$ пары.
2. Скрещивающиеся перпендикулярные ребра. Ребра куба можно разделить на три группы по четыре взаимно параллельных ребра. Ребра из разных групп (например, одно параллельно оси Ox, другое — оси Oy) являются перпендикулярными.
Рассмотрим одно произвольное ребро. С ним скрещиваются (не пересекаются и не параллельны) 4 других ребра, и все они ему перпендикулярны.
Поскольку у куба 12 ребер, и каждое образует пару с 4 скрещивающимися перпендикулярными ребрами, мы можем посчитать общее количество таких пар. Чтобы не считать каждую пару дважды (например, пару ребер (A, B) и (B, A)), результат нужно разделить на 2:
$\frac{12 \text{ ребер} \times 4}{2} = 24$ пары.
Общее количество пар. Складываем количество пересекающихся и скрещивающихся перпендикулярных пар:
$24 + 24 = 48$ пар.
Ответ: 48 пар.