Номер 30, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые:

а) $AA_1$ и $BD$;

б) $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

а)Докажем, что прямые $AA_1$ и $BD_1$ скрещиваются, используя признак скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

1. Рассмотрим плоскость боковой грани $ADD_1A_1$. Прямая $AA_1$ является ребром этой грани, следовательно, она целиком лежит в этой плоскости: $AA_1 \subset (ADD_1A_1)$.

2. Рассмотрим прямую $BD_1$. Точка $D_1$ принадлежит плоскости $(ADD_1A_1)$, так как является вершиной этой грани. Точка $B$ не принадлежит плоскости $(ADD_1A_1)$, так как в противном случае все вершины параллелепипеда лежали бы в одной плоскости, что невозможно для невырожденного параллелепипеда.

3. Поскольку точка $D_1$ прямой $BD_1$ лежит в плоскости $(ADD_1A_1)$, а точка $B$ не лежит в ней, прямая $BD_1$ пересекает плоскость $(ADD_1A_1)$. Точкой пересечения является точка $D_1$.

4. Точка пересечения $D_1$ не принадлежит прямой $AA_1$. Точки $A$, $A_1$ и $D_1$ являются вершинами параллелограмма $ADD_1A_1$ и не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой).

5. Таким образом, прямая $BD_1$ пересекает плоскость $(ADD_1A_1)$, в которой лежит прямая $AA_1$, в точке ($D_1$), не принадлежащей прямой $AA_1$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $BD_1$ скрещиваются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)Докажем, что прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются, используя тот же признак.

1. Рассмотрим плоскость боковой грани $ABB_1A_1$. Прямая $BB_1$ является ребром этой грани и, следовательно, полностью лежит в этой плоскости: $BB_1 \subset (ABB_1A_1)$.

2. Рассмотрим диагональ параллелепипеда $AC_1$. Точка $A$ принадлежит плоскости $(ABB_1A_1)$, являясь вершиной этой грани. Точка $C_1$ не принадлежит плоскости $(ABB_1A_1)$, так как она является вершиной параллельной грани $CDD_1C_1$ и не может лежать в плоскости $(ABB_1A_1)$ в невырожденном параллелепипеде.

3. Поскольку точка $A$ прямой $AC_1$ лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$, а точка $C_1$ не лежит в ней, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABB_1A_1)$ в точке $A$.

4. Точка пересечения $A$ не принадлежит прямой $BB_1$. Точки $A$, $B$ и $B_1$ — это вершины параллелограмма $ABB_1A_1$ и не лежат на одной прямой.

5. Таким образом, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABB_1A_1)$, в которой лежит прямая $BB_1$, в точке ($A$), не принадлежащей прямой $BB_1$. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AC_1$ и $BB_1$ скрещиваются.

Ответ: Что и требовалось доказать.