Номер 29, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Как расположены прямые:

а) $AB_1$ и $CD_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC_1$ и $BF_1$,

проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$?

30. Покажите, что для параллелограмма ABCD прямые:

а) AA

Для определения взаимного расположения прямых в пространстве необходимо выяснить, являются ли они параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. В основе призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ лежит правильный шестиугольник.

а) $AB_1$ и $CD_1$

Решение

Две прямые в пространстве являются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Докажем, что прямые $AB_1$ и $CD_1$ не лежат в одной плоскости.

Предположим, что прямые $AB_1$ и $CD_1$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Эта плоскость $\alpha$ пересекает два параллельных основания призмы, $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью должны быть параллельны.

Плоскость $\alpha$ содержит точки $A$ и $C$ из нижнего основания, значит, она пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $AC$.

Плоскость $\alpha$ содержит точки $B_1$ и $D_1$ из верхнего основания, значит, она пересекает плоскость $(A_1B_1C_1)$ по прямой $B_1D_1$.

Следовательно, прямые $AC$ и $B_1D_1$ должны быть параллельны.

Однако в правильном шестиугольнике $AC$ является малой диагональю, а $B_1D_1$ — большой диагональю. Если сторона шестиугольника равна $a$, то длина $AC$ равна $a\sqrt{3}$, а длина $B_1D_1$ равна $2a$. Кроме того, эти диагонали не параллельны друг другу по направлению. Так как $AC \nparallel B_1D_1$, наше первоначальное предположение неверно, и точки $A, C, B_1, D_1$ не лежат в одной плоскости. Значит, прямые $AB_1$ и $CD_1$ не могут лежать в одной плоскости.

Так как прямые не лежат в одной плоскости, они не могут быть ни параллельными, ни пересекающимися. Следовательно, они скрещиваются.

Ответ: Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися.

б) $AA_1$ и $BD_1$

Решение

Рассмотрим взаимное расположение прямых $AA_1$ и $BD_1$.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскостям оснований. Прямая $AA_1$ полностью лежит в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$.

Прямая $BD_1$ соединяет вершину $B$ нижнего основания и вершину $D_1$ верхнего основания.

Точка $B$ принадлежит плоскости грани $ABB_1A_1$. Точка $D_1$ не принадлежит этой плоскости, так как в правильной шестиугольной призме вершины $A, B, D_1$ не лежат в одной плоскости грани.

Следовательно, прямая $BD_1$ пересекает плоскость $ABB_1A_1$ в единственной точке $B$.

Точка $B$ не лежит на прямой $AA_1$, так как $A$ и $B$ — разные вершины основания.

Таким образом, прямая $BD_1$ пересекает плоскость, содержащую прямую $AA_1$, в точке, не принадлежащей прямой $AA_1$. Это означает, что прямые $AA_1$ и $BD_1$ не пересекаются.

Прямые также не параллельны, так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, а прямая $BD_1$ является наклонной к этой плоскости (ее проекция на плоскость основания — отрезок $BD$, а не точка).

Поскольку прямые не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $AA_1$ и $BD_1$ являются скрещивающимися.

в) $AC_1$ и $BF_1$

Решение

Чтобы определить взаимное расположение прямых $AC_1$ и $BF_1$, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Две прямые лежат в одной плоскости, если они параллельны или пересекаются. Проверим, являются ли точки $A, B, C_1, F_1$ компланарными (лежащими в одной плоскости).

Для этого введем систему координат с центром в центре нижнего основания $O(0,0,0)$ и осью $Ox$, проходящей через вершину $A$. Пусть сторона шестиугольника равна $a$, а высота призмы — $h$.

Координаты вершин будут следующими:

$A(a, 0, 0)$

$B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C_1(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$F_1(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Найдем векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC_1}$ и $\vec{AF_1}$:

$\vec{AB} = B - A = (\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (-\frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$\vec{AF_1} = F_1 - A = (\frac{a}{2} - a, -\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Точки $A, B, C_1, F_1$ компланарны, если смешанное произведение векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC_1}$ и $\vec{AF_1}$ равно нулю. Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов:

$(\vec{AB} \times \vec{AC_1}) \cdot \vec{AF_1} = \begin{vmatrix} -\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{3a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & h \\ -\frac{a}{2} & -\frac{a\sqrt{3}}{2} & h \end{vmatrix} =$

$= -\frac{a}{2} (\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot h - h \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2})) - \frac{a\sqrt{3}}{2} (-\frac{3a}{2} \cdot h - h \cdot (-\frac{a}{2})) + 0 =$

$= -\frac{a}{2} (\frac{ah\sqrt{3}}{2} + \frac{ah\sqrt{3}}{2}) - \frac{a\sqrt{3}}{2} (-\frac{3ah}{2} + \frac{ah}{2}) =$

$= -\frac{a}{2} (ah\sqrt{3}) - \frac{a\sqrt{3}}{2} (-ah) = -\frac{a^2h\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2h\sqrt{3}}{2} = 0$

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны, а значит, точки $A, B, C_1, F_1$ лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BF_1$ лежат в одной плоскости.

Проверим, не параллельны ли они. Для этого сравним их направляющие векторы $\vec{AC_1} = (-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$ и $\vec{BF_1} = F_1 - B = (\frac{a}{2}-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a\sqrt{3}}{2}, h-0) = (0, -a\sqrt{3}, h)$. Векторы не коллинеарны (их координаты не пропорциональны), значит, прямые не параллельны.

Поскольку прямые лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются.

Ответ: Прямые $AC_1$ и $BF_1$ являются пересекающимися.