Номер 36, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Докажите, что у правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны плоскости:

a) $ABB_1$ и $EDD_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

По условию дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это означает, что ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) параллельны друг другу и перпендикулярны плоскостям оснований.

Для доказательства параллельности двух плоскостей будем использовать признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

а) Докажем, что плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $EDD_1$.

1. Рассмотрим плоскость $(ABB_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, $AB$ и $BB_1$. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания, а $BB_1$ является боковым ребром.

2. Рассмотрим плоскость $(EDD_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, $ED$ и $DD_1$. Прямая $ED$ лежит в плоскости основания, а $DD_1$ является боковым ребром.

3. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel ED$.

4. По определению призмы, все ее боковые ребра параллельны. Следовательно, $BB_1 \parallel DD_1$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $AB$ и $BB_1$ плоскости $(ABB_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $ED$ и $DD_1$ плоскости $(EDD_1)$. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ABB_1)$ параллельна плоскости $(EDD_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что плоскость $ACC_1$ параллельна плоскости $FDD_1$.

1. Рассмотрим диагональную плоскость $(ACC_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, диагональю основания $AC$ и боковым ребром $CC_1$.

2. Рассмотрим диагональную плоскость $(FDD_1)$. Она задается двумя пересекающимися прямыми, например, диагональю основания $FD$ и боковым ребром $DD_1$.

3. Боковые ребра $CC_1$ и $DD_1$ параллельны по определению призмы, так как оба они являются боковыми ребрами: $CC_1 \parallel DD_1$.

4. Рассмотрим диагонали $AC$ и $FD$ в основании $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны $CD$ и $AF$ параллельны и равны. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $ACDF$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, значит $AC \parallel FD$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $AC$ и $CC_1$ плоскости $(ACC_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $FD$ и $DD_1$ плоскости $(FDD_1)$. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $(ACC_1)$ параллельна плоскости $(FDD_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.