Номер 38, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AC$ и $BD_1$;

в) $AB_1$ и $CD_1$.

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$...

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

Найти:

а) Угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

б) Угол между прямыми $AC$ и $BD_1$.

в) Угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна $a$. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся.

а) $AB_1$ и $BC_1$

Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос одной из прямых. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Прямая $AD_1$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Так как грани $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны и равны, а отрезки $BC_1$ и $AD_1$ являются их соответствующими диагоналями, то $BC_1 \parallel AD_1$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$. Этот угол — $\angle B_1AD_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Его стороны:

- $AB_1$ — диагональ грани (квадрата) $ABB_1A_1$. Ее длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

- $AD_1$ — диагональ грани (квадрата) $ADD_1A_1$. Ее длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

- $B_1D_1$ — диагональ грани (квадрата) $A_1B_1C_1D_1$. Ее длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны ($AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2}$), то этот треугольник является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Таким образом, угол $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $AC$ и $BD_1$

Прямая $AC$ является диагональю основания $ABCD$. Прямая $BD_1$ является пространственной диагональю куба. Эти прямые скрещиваются. Докажем, что они перпендикулярны.

Рассмотрим проекцию прямой $BD_1$ на плоскость основания $ABCD$. Проекцией точки $B$ на эту плоскость является сама точка $B$. Проекцией точки $D_1$ на эту плоскость является точка $D$. Следовательно, проекцией прямой $BD_1$ на плоскость $ABCD$ является прямая $BD$.

В основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. В нашем случае $BD_1$ — наклонная, $BD$ — ее проекция на плоскость $ABCD$, а $AC$ — прямая в этой плоскости. Так как $BD \perp AC$, то и $BD_1 \perp AC$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) $AB_1$ и $CD_1$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $CD_1$ на вектор $\vec{CB}$. При этом точка $C$ перейдет в точку $B$, а точка $D_1$ — в точку $A_1$. Таким образом, прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $BA_1$.

Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями одной и той же грани — квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $BA_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.