Номер 45, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны $1$.

Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 1, то есть: $AB = BC = CD = DA = 1$ (ребра основания) и $SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).

Найти:

Угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В основании правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. Вершина $S$ проецируется в центр основания — точку $O$, которая является точкой пересечения диагоналей квадрата. Таким образом, отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания $ABC$.

Найдем проекцию прямой $SB$ на плоскость $ABC$.

1. Проекцией точки $S$ на плоскость $ABC$ является точка $O$.

2. Точка $B$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция — это сама точка $B$.

Следовательно, проекцией прямой $SB$ на плоскость $ABC$ является прямая $OB$. Искомый угол — это угол между прямой $SB$ и ее проекцией $OB$, то есть угол $\angle SBO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SBO$. Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку $O$. Значит, $SO \perp OB$, и треугольник $\triangle SBO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOB$.

Для нахождения угла $\angle SBO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SBO$ нам нужно знать длины как минимум двух его сторон.

1. Длина гипотенузы $SB$. По условию, все ребра пирамиды равны 1, значит $SB = 1$.

2. Длина катета $OB$. Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, следовательно, $OB$ — это половина диагонали $BD$. Найдем длину диагонали $BD$ из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2$ $BD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ $BD = \sqrt{2}$

Тогда $OB = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь мы можем найти косинус угла $\angle SBO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SBO$: $\cos(\angle SBO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{SB}$ $\cos(\angle SBO) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle SBO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.