Номер 51, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

51. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AC_1}$;

б) $\vec{AD_1}$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1.
Следовательно, длина ребра основания $a = 1$, и длина бокового ребра (высота призмы) $h = 1$.

Найти:

а) $|\vec{AC_1}|$
б) $|\vec{AD_1}|$

Решение:

Длина вектора — это длина отрезка, соединяющего его начало и конец. Таким образом, задача сводится к нахождению длин диагоналей призмы $AC_1$ и $AD_1$. Мы будем использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных диагоналями призмы, их проекциями на основание и боковыми ребрами.

а)

Длина вектора $\vec{AC_1}$ равна длине диагонали $AC_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$, где катет $AC$ — диагональ основания, а катет $CC_1$ — боковое ребро.

1. Найдем длину диагонали $AC$ в основании. Основание — это правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, т.е. $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

2. Теперь найдем длину диагонали призмы $AC_1$ по теореме Пифагора в треугольнике $ACC_1$ (он прямоугольный, так как $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания):
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$
$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, длина вектора $|\vec{AC_1}| = 2$.

Ответ: 2

б)

Длина вектора $\vec{AD_1}$ равна длине диагонали $AD_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$, где катет $AD$ — большая диагональ основания, а катет $DD_1$ — боковое ребро.

1. Найдем длину большой диагонали $AD$ в основании. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ длина большой диагонали равна $2a$.
$AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Теперь найдем длину диагонали призмы $AD_1$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADD_1$:
$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$
$AD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
$AD_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, длина вектора $|\vec{AD_1}| = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$