Номер 48, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Найдите косинус двугранного угла, образованного гранями
правильного тетраэдра.

Дано:

Правильный тетраэдр (все грани - равносторонние треугольники, все ребра равны).

Обозначим длину ребра тетраэдра как $a$.

Найти:

Косинус двугранного угла, образованного гранями тетраэдра.

Решение:

Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$. Двугранный угол между гранями — это угол между двумя плоскостями, в которых лежат эти грани. В правильном тетраэдре все двугранные углы равны. Найдем, например, угол между гранью основания $ABC$ и боковой гранью $DBC$.

Общим ребром для этих двух граней является ребро $BC$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла нужно в каждой из граней провести перпендикуляр к общему ребру $BC$ из одной и той же точки на этом ребре.

Грани $ABC$ и $DBC$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Проведем в треугольнике $ABC$ медиану $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, медиана $AM$ является также и высотой, то есть $AM \perp BC$.

Аналогично, в треугольнике $DBC$ проведем медиану $DM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $DBC$ равносторонний, медиана $DM$ также является высотой, то есть $DM \perp BC$.

Таким образом, угол $AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол как $φ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMD$. Чтобы найти косинус угла $φ$, воспользуемся теоремой косинусов. Для этого нам нужно знать длины всех трех сторон этого треугольника.

1. Сторона $AD$ является ребром тетраэдра, следовательно, ее длина равна $a$.

2. Стороны $AM$ и $DM$ являются высотами (и медианами) в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AMD$:

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(φ)$

Подставим известные значения длин сторон:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(φ)$

Выполним вычисления:

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(φ)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(φ)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(φ)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(φ)$

Теперь выразим $\cos(φ)$:

$\frac{3}{2} \cos(φ) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(φ) = \frac{1}{2}$

$\cos(φ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $1/3$.