Номер 41, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

41. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1.

Найдите расстояние от точки B до прямой:
а) $AC$;
б) $A_1C_1$.

Дано:
Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.
Все ребра равны 1, т.е. $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Данные в системе СИ не требуют перевода, так как являются безразмерными величинами.

Найти:
а) Расстояние от точки B до прямой $AC_1$, обозначим $d(B, AC_1)$.
б) Расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$, обозначим $d(B, A_1C_1)$.

Решение:

а) Расстояние от точки B до прямой $AC_1$ — это длина высоты, опущенной из вершины B на сторону $AC_1$ в треугольнике $BAC_1$. Найдем стороны этого треугольника.
1. Сторона $AB$ является ребром призмы, поэтому $AB = 1$.
2. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $AA_1C_1C$. Эта грань — квадрат со стороной 1, так как призма правильная и все ребра равны 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC_1 = \sqrt{2}$
3. Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BB_1C_1C$. Эта грань также является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$BC_1 = \sqrt{2}$
Таким образом, треугольник $BAC_1$ имеет стороны $AB=1$, $AC_1=\sqrt{2}$, $BC_1=\sqrt{2}$. Треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $AC_1$ и $BC_1$.
Чтобы найти искомое расстояние (высоту $h_B$ из вершины B к стороне $AC_1$), применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle AC_1B$. Обозначим этот угол как $\gamma$.
$AB^2 = AC_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\gamma)$
$1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\gamma)$
$1 = 2 + 2 - 4 \cos(\gamma)$
$1 = 4 - 4 \cos(\gamma)$
$4 \cos(\gamma) = 3 \implies \cos(\gamma) = \frac{3}{4}$
Теперь найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$ (для угла треугольника синус положителен):
$\sin(\gamma) = \sqrt{1 - \cos^2(\gamma)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
Расстояние от точки B до прямой $AC_1$ — это высота $h_B$, которую можно найти как катет в прямоугольном треугольнике, противолежащий углу $\gamma$ и с гипотенузой $BC_1$.
$h_B = BC_1 \cdot \sin(\gamma) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

б) Расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую $A_1C_1$. Обозначим этот перпендикуляр $BH$, где точка $H$ лежит на прямой $A_1C_1$.
Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Точка B лежит в плоскости нижнего основания $ABC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1H'$, где $H'$ — это проекция точки $H$ на плоскость нижнего основания. Так как $A_1C_1$ параллельна $AC$, то $H'$ будет лежать на прямой $AC$. Однако проще рассмотреть треугольник $BB_1H$.
Проведем $B_1K$ — высоту в треугольнике $A_1B_1C_1$ из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Тогда $K$ и есть точка $H$, ближайшая к $B_1$ на прямой $A_1C_1$.
Рассмотрим треугольник $BB_1K$. $BB_1$ — боковое ребро, перпендикулярное основанию, значит $BB_1 \perp B_1K$. Следовательно, треугольник $BB_1K$ — прямоугольный.
Искомое расстояние $BK$ является гипотенузой в этом треугольнике. По теореме Пифагора: $BK^2 = BB_1^2 + B_1K^2$.
Катет $BB_1$ — это высота призмы, $BB_1 = 1$.
Катет $B_1K$ — это высота в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной $a=1$.
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$B_1K = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь можем найти искомое расстояние $BK$:
$BK^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$BK = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$