Номер 39, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми:

a) $AA_1$ и $CD_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC$ и $BE_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.
Все ребра равны 1, то есть сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

а) Угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$.
б) Угол между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.
в) Угол между прямыми $AC$ и $BE_1$.

Решение:

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Высота призмы $AA_1$ также равна 1. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

а) Найти угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$

Прямые $AA_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.

Боковое ребро $AA_1$ параллельно боковому ребру $DD_1$. Следовательно, искомый угол между прямыми $AA_1$ и $CD_1$ равен углу между прямыми $DD_1$ и $CD_1$. Эти прямые пересекаются в точке $D_1$, образуя угол $\angle CD_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CDD_1$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Значит, ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $D$, в том числе и ребру $CD$. Таким образом, $\angle CDD_1 = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle CDD_1$ — прямоугольный.

По условию, длины катетов равны:

- $CD = 1$ (сторона основания).

- $DD_1 = 1$ (высота призмы).

Так как катеты равны, $\triangle CDD_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе равны $45^\circ$. Угол $\angle CD_1D$ можно найти через тангенс:

$\tan(\angle CD_1D) = \frac{CD}{DD_1} = \frac{1}{1} = 1$.

Отсюда следует, что $\angle CD_1D = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) Найти угол между прямыми $AA_1$ и $BD_1$

Прямые $AA_1$ и $BD_1$ также скрещивающиеся. Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $DD_1$. Искомый угол будет равен углу между прямыми $DD_1$ и $BD_1$, то есть углу $\angle BD_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BDD_1$.

Ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию, значит $DD_1 \perp BD$. Следовательно, $\triangle BDD_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$.

Длина катета $DD_1 = 1$. Найдем длину катета $BD$, который является диагональю основания.

В основании лежит правильный шестиугольник. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. В нем $BC = 1$, $CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\angle BCD = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

По теореме косинусов для $\triangle BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.

Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle BDD_1$. Мы знаем длины катетов: $BD = \sqrt{3}$ и $DD_1 = 1$. Найдем тангенс угла $\angle BD_1D$:

$\tan(\angle BD_1D) = \frac{BD}{DD_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Следовательно, $\angle BD_1D = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

в) Найти угол между прямыми $AC$ и $BE_1$

Прямые $AC$ и $BE_1$ скрещивающиеся. Для нахождения угла между ними воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Прямая $BE_1$ является наклонной к плоскости основания $ABCDEF$. Так как боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания ($EE_1 \perp \text{пл.}(ABCDEF)$), то прямая $BE$ является проекцией наклонной $BE_1$ на эту плоскость. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания.

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BE$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($BE_1$) перпендикулярна этой прямой.

Проверим, перпендикулярны ли диагонали $AC$ и $BE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Для этого введем на плоскости основания систему координат с центром в центре шестиугольника $O(0,0)$ и вершиной $A$ на оси абсцисс, $A(1,0)$. Координаты других вершин при стороне $a=1$:

$A(1, 0)$
$B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$C(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$E(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем угловые коэффициенты (наклоны) прямых $AC$ и $BE$:

$m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$m_{BE} = \frac{y_E - y_B}{x_E - x_B} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}$.

Найдем произведение угловых коэффициентов:

$m_{AC} \cdot m_{BE} = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{3}) = -1$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов равно -1, прямые $AC$ и $BE$ перпендикулярны.

Итак, мы показали, что $AC \perp BE$. По теореме о трех перпендикулярах, отсюда следует, что $AC \perp BE_1$.

Значит, угол между прямыми $AC$ и $BE_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$