Номер 44, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $DEE_1$;

б) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна 1.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро (высота) $h = 1$.

Найти:

a) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$.

б) Расстояние между плоскостями $ACC_1$ и $FDD_1$.

Решение:

а) $ABB_1$ и $DEE_1$

Плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$ являются боковыми гранями призмы. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DE$ ($AB \parallel DE$).

Так как призма правильная, она является прямой, и все ее боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Значит, $BB_1 \parallel EE_1$.

Поскольку две пересекающиеся прямые ($AB$ и $BB_1$) одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($DE$ и $EE_1$) другой плоскости, то плоскости $(ABB_1)$ и $(DEE_1)$ параллельны.

Расстояние между этими параллельными плоскостями равно расстоянию между прямыми $AB$ и $DE$ в плоскости основания. Это расстояние равно удвоенной длине апофемы правильного шестиугольника (расстоянию от центра до стороны).

Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По условию $a=1$, поэтому апофема равна $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние $d_1$ равно $2r$:

$d_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) $ACC_1$ и $FDD_1$

Плоскости $ACC_1$ и $FDD_1$ являются диагональными сечениями призмы. Рассмотрим диагонали $AC$ и $FD$ в основании $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике диагонали $AC$ и $FD$ параллельны и равны. Это можно доказать, рассмотрев четырехугольник $ACDF$. В нем стороны $AF$ и $CD$ параллельны (как стороны трапеции $AFDC$) и равны стороне шестиугольника ($AF=CD=1$). Следовательно, $ACDF$ — параллелограмм, а значит $AC \parallel FD$.

Боковые ребра $CC_1$ и $DD_1$ параллельны ($CC_1 \parallel DD_1$). Так как две пересекающиеся прямые ($AC$ и $CC_1$) одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым ($FD$ и $DD_1$) другой, то плоскости $(ACC_1)$ и $(FDD_1)$ параллельны.

Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между параллельными прямыми $AC$ и $FD$ в плоскости основания.

Найдем это расстояние. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Расстояние между $AC$ и $FD$ равно сумме расстояний от центра $O$ до каждой из этих прямых, так как они лежат по разные стороны от центра.

Рассмотрим треугольник $OAC$. Стороны $OA$ и $OC$ равны радиусу описанной окружности, который для правильного шестиугольника равен его стороне, то есть $OA = OC = a = 1$.

Длину диагонали $AC$ найдем из треугольника $ABC$ по теореме косинусов. В правильном шестиугольнике внутренний угол равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Отсюда $AC = \sqrt{3}$.

Расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ — это высота $OM$ равнобедренного треугольника $OAC$, опущенная на основание $AC$. В прямоугольном треугольнике $OAM$ (где $M$ — середина $AC$):

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

В силу симметрии шестиугольника, расстояние от центра $O$ до прямой $FD$ также равно $\frac{1}{2}$.

Искомое расстояние $d_2$ равно сумме расстояний от центра до каждой прямой:

$d_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$