Номер 47, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

47. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $BCC_1$;

б) $ABB_1$ и $ACC_1$;

в) $ACC_1$ и $CDD_1$;

г) $ACC_1$ и $BEE_1$.

48. Найдите

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.
Все ребра равны 1, т.е. $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ и $AA_1 = BB_1 = \dots = FF_1 = 1$.

Найти:

Углы между плоскостями:
а) $ABB_1$ и $BCC_1$
б) $ABB_1$ и $ACC_1$
в) $ACC_1$ и $CDD_1$
г) $ACC_1$ и $BEE_1$

Решение:

Основание призмы $ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной 1. Призма является правильной, следовательно, она прямая, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Все боковые грани являются квадратами. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

а) $ABB_1$ и $BCC_1$

Плоскости $ABB_1$ и $BCC_1$ — это две смежные боковые грани призмы. Они пересекаются по общему боковому ребру $BB_1$. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$. Линия $AB$ лежит в плоскости $ABB_1$, а линия $BC$ — в плоскости $BCC_1$. Обе эти линии перпендикулярны ребру пересечения $BB_1$ и проходят через одну точку $B$. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими линиями, то есть $\angle ABC$. Угол $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника, поэтому $\angle ABC = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

б) $ABB_1$ и $ACC_1$

Плоскость $ABB_1$ — это боковая грань, а плоскость $ACC_1$ — это диагональная плоскость. Они пересекаются по общему боковому ребру $AA_1$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$. Линия $AB$ лежит в плоскости $ABB_1$, а линия $AC$ — в плоскости $ACC_1$. Обе они перпендикулярны ребру пересечения $AA_1$ в точке $A$. Угол между плоскостями равен углу между линиями $AB$ и $AC$, то есть $\angle BAC$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Он равнобедренный, так как $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании треугольника $ABC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

в) $ACC_1$ и $CDD_1$

Плоскость $ACC_1$ — это диагональная плоскость, а $CDD_1$ — боковая грань. Они пересекаются по общему боковому ребру $CC_1$. Так как призма прямая, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, $CC_1 \perp AC$ и $CC_1 \perp CD$. Линия $AC$ лежит в плоскости $ACC_1$, а линия $CD$ — в плоскости $CDD_1$. Обе они перпендикулярны ребру пересечения $CC_1$ в точке $C$. Угол между плоскостями равен углу между линиями $AC$ и $CD$, то есть $\angle ACD$. В основании $ABCDEF$ угол $\angle BCD = 120^\circ$. Из решения пункта б) мы знаем, что $\angle BCA = 30^\circ$. Тогда угол $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Следовательно, угол между плоскостями равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

г) $ACC_1$ и $BEE_1$

Плоскости $ACC_1$ и $BEE_1$ — это диагональные плоскости. Так как они содержат боковые ребра (или линии, им параллельные), они обе перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Угол между двумя плоскостями, перпендикулярными третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью. Линия пересечения плоскости $ACC_1$ с основанием — это диагональ $AC$. Линия пересечения плоскости $BEE_1$ с основанием — это диагональ $BE$. Таким образом, искомый угол равен углу между диагоналями $AC$ и $BE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Большая диагональ $BE$ является осью симметрии правильного шестиугольника. Вершины $A$ и $C$ симметричны относительно этой оси. Отрезок, соединяющий две симметричные точки ($AC$), перпендикулярен оси симметрии ($BE$). Следовательно, $AC \perp BE$, и угол между ними равен $90^\circ$. Значит, угол между плоскостями $ACC_1$ и $BEE_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.