Номер 49, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1.

Длина ребра основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 1$.

Найти:

Косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что ребра основания ($AB = BC = CD = DA = 1$) и боковые ребра ($SA = SB = SC = SD = 1$) равны 1.

Следовательно, боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Найдем двугранный угол между двумя соседними боковыми гранями, например, между гранями $SBC$ и $SCD$. Эти грани пересекаются по общему ребру $SC$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в плоскости каждой грани проведем перпендикуляр к общему ребру $SC$ из одной точки.

Рассмотрим грань $SBC$. Это равносторонний треугольник. Проведем в нем высоту $BH$ к стороне $SC$. Так как треугольник $SBC$ равносторонний, высота $BH$ является также медианой и биссектрисой. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому длина высоты $BH$ равна:

$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим грань $SCD$. Она также является равносторонним треугольником, конгруэнтным треугольнику $SBC$. Проведем в нем высоту $DH$ к стороне $SC$. Так как треугольники равны, высота $DH$ будет опущена в ту же точку $H$ на ребре $SC$ и ее длина будет такой же:

$DH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По определению, угол $BHD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $SBC$ и $SCD$. Обозначим этот угол как $\phi$. Чтобы найти косинус этого угла, рассмотрим треугольник $BHD$. Мы знаем длины двух его сторон, $BH$ и $DH$. Найдем длину третьей стороны $BD$.

Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании пирамиды. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BAD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $BHD$:

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения:

$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\phi)$

$2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \cos(\phi)$

$2 = \frac{6}{4} - \frac{6}{4} \cdot \cos(\phi)$

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\phi)$

Выразим $\cos(\phi)$:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\phi) = \frac{3}{2} - 2$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\phi) = \frac{3}{2} - \frac{4}{2}$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\phi) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\phi) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: Косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями, равен $-\frac{1}{3}$.