Номер 46, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

46. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.

Стороны основания $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Боковые ребра $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Найти:

Угол между прямой $SB$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В нашем случае прямая – это боковое ребро $SB$, а плоскость – это плоскость основания $ABC$, которая совпадает с плоскостью всего шестиугольника $ABCDEF$.

Поскольку пирамида $SABCDEF$ является правильной, её вершина $S$ проецируется в центр основания. Обозначим центр основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) точкой $O$. Таким образом, $SO$ – это высота пирамиды, и отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$.

Проекцией точки $S$ на плоскость $ABC$ является точка $O$. Точка $B$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому её проекция – это сама точка $B$.

Следовательно, проекцией наклонной $SB$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OB$.

Искомый угол – это угол между наклонной $SB$ и её проекцией $OB$, то есть угол $\angle SBO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SBO$. Поскольку $SO$ – перпендикуляр к плоскости основания, то $SO \perp OB$. Значит, треугольник $\triangle SBO$ – прямоугольный, с прямым углом при вершине $O$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны. Следовательно, длина отрезка $OB$ равна стороне основания:

$OB = 1$

По условию, длина бокового ребра $SB$ равна 2. В прямоугольном треугольнике $\triangle SBO$ отрезок $SB$ является гипотенузой, а $OB$ – катетом.

Найдём косинус искомого угла $\angle SBO$ как отношение прилежащего катета $OB$ к гипотенузе $SB$:

$\cos(\angle SBO) = \frac{OB}{SB} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.