Номер 42, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

42. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости:
а) $ACC_1$;
б) $ACB_1$.

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный.
Длина ребра $a = 1$.

a) Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$, обозначим его $\rho(B, (ACC_1))$.
б) Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$, обозначим его $\rho(B, (ACB_1))$.

а) Плоскость $ACC_1$ является диагональной плоскостью куба, которая также содержит точки $A$ и $A_1$ ($ACC_1A_1$). Эта плоскость перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту плоскость.
Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны ($BO \perp AC$).
Поскольку прямая $BO$ лежит в плоскости $ABCD$, а плоскость $ABCD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$, и $BO$ перпендикулярна их линии пересечения $AC$, то прямая $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$.
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BO$.
Длина диагонали квадрата $ABCD$ со стороной 1 равна $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Для нахождения расстояния от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $ABCB_1$.
С одной стороны, объем тетраэдра можно вычислить, приняв за основание треугольник $ABC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle ABC = 90^\circ$) с катетами $AB = 1$ и $BC = 1$. Его площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Высотой, опущенной на это основание из вершины $B_1$, является ребро $BB_1 = 1$.
Объем тетраэдра: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.
С другой стороны, тот же объем можно выразить через основание $ACB_1$ и высоту $h$, опущенную на него из вершины $B$. Эта высота $h$ и есть искомое расстояние.
Найдем площадь треугольника $ACB_1$. Его стороны $AC$, $CB_1$ и $AB_1$ являются диагоналями граней единичного куба. Длина диагонали грани куба со стороной 1 равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Следовательно, $AC = CB_1 = AB_1 = \sqrt{2}$, и треугольник $ACB_1$ — равносторонний со стороной $s=\sqrt{2}$.
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{ACB_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Приравняем выражения для объема: $V = \frac{1}{3} S_{ACB_1} \cdot h$.
$\frac{1}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h$
$\frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6} h$
Отсюда находим высоту $h$: $h = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.