Номер 40, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой:

а) $A_1D_1$;

б) $A_1C_1$.

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Ребро куба $a = 1$ (единичный куб)

Найти:
а) Расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$, обозначаемое как $ \rho(B, A_1D_1) $
б) Расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$, обозначаемое как $ \rho(B, A_1C_1) $

Решение:

а) A₁D₁
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Рассмотрим ребро $A_1D_1$. Оно принадлежит грани $A_1B_1C_1D_1$ и грани $AA_1D_1D$.
По свойству куба, ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, а значит и любой прямой в этой плоскости, следовательно, $A_1A \perp A_1D_1$.
Также, в квадрате $A_1B_1C_1D_1$ стороны перпендикулярны, значит $A_1B_1 \perp A_1D_1$.
Прямые $A_1A$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $A_1$ и лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$.
Поскольку прямая $A_1D_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1A$ и $A_1B_1$) в плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна всей этой плоскости.
Точка $B$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$. Так как прямая $A_1D_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$ и проходит через точку $A_1$ этой плоскости, то отрезок $BA_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $A_1D_1$. Его длина и есть искомое расстояние.
Отрезок $BA_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Так как $ABB_1A_1$ — это квадрат со стороной 1, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$ (с прямым углом $\angle A_1AB$):
$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

б) A₁C₁
Чтобы найти расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$, рассмотрим треугольник $BA_1C_1$. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, проведенной из вершины B к стороне $A_1C_1$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
• Сторона $A_1C_1$ — это диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали: $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• Сторона $BA_1$ — это диагональ боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали: $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• Сторона $BC_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань — квадрат со стороной 1. Длина диагонали: $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Все три стороны треугольника $BA_1C_1$ равны $\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $BA_1C_1$ является равносторонним.
Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае сторона $a = \sqrt{2}$. Подставим это значение в формулу:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Это и есть искомое расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.