Номер 33, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, укажите грани, параллельные прямой:

а) $AD$;

б) $AB_1$;

В основе правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ лежат два правильных шестиугольника $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а боковые грани являются прямоугольниками.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

а) AD

Рассмотрим прямую $AD$. Эта прямая является большой диагональю нижнего основания призмы – правильного шестиугольника $ABCDEF$.

1. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Также большие диагонали параллельны некоторым сторонам. В частности, большая диагональ $AD$ параллельна сторонам $BC$ и $FE$.

- Так как прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$), а прямая $BC$ лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$, то прямая $AD$ параллельна грани $BCC_1B_1$.

- Так как прямая $AD$ параллельна прямой $FE$ ($AD \parallel FE$), а прямая $FE$ лежит в плоскости боковой грани $FEE_1F_1$, то прямая $AD$ параллельна грани $FEE_1F_1$.

2. Плоскости оснований призмы параллельны: $(ABCDEF) \parallel (A_1B_1C_1D_1E_1F_1)$. Прямая $AD$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABCDEF)$. Любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. Следовательно, прямая $AD$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Другие боковые грани ($ABB_1A_1$, $CDD_1C_1$, $DEE_1D_1$, $AFF_1A_1$) пересекаются с прямой $AD$ в точках $A$ или $D$, поэтому не могут быть ей параллельны.

Таким образом, три грани призмы параллельны прямой $AD$.

Ответ: $BCC_1B_1$, $FEE_1F_1$, $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

б) AB₁

Рассмотрим прямую $AB_1$. Эта прямая является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

1. Проверим грани, которые пересекаются с прямой $AB_1$.

- Прямая $AB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$, поэтому не параллельна ей.

- Прямая $AB_1$ пересекает грань $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в точке $B_1$, поэтому не параллельна ей.

- Прямая $AB_1$ пересекает грань $ABCDEF$ в точке $A$, поэтому не параллельна ей.

- Прямая $AB_1$ пересекает ребро $BB_1$, которое является общим для граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Точка $B_1$ принадлежит обеим прямым $AB_1$ и $BB_1$, значит прямая $AB_1$ пересекает грань $BCC_1B_1$ в точке $B_1$. Следовательно, они не параллельны.

- Аналогично, прямая $AB_1$ пересекает грань $AFF_1A_1$ в точке $A$. Следовательно, они не параллельны.

2. Осталось проверить боковые грани $CDD_1C_1$, $DEE_1D_1$ и $EFF_1E_1$. Воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AF}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$. Вектор, задающий прямую $AB_1$, равен $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$.

- Рассмотрим грань $DEE_1D_1$. Эта грань является прямоугольником, ее плоскость задается векторами $\vec{DE}$ и $\vec{DD_1}$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{DE} = \vec{BA} = -\vec{a}$. Боковое ребро $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Прямая $AB_1$ будет параллельна плоскости $(DEE_1D_1)$, если ее направляющий вектор $\vec{AB_1}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DD_1}$.

$\vec{AB_1} = k_1 \cdot \vec{DE} + k_2 \cdot \vec{DD_1}$

$\vec{a} + \vec{c} = k_1(-\vec{a}) + k_2(\vec{c})$