Номер 28, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Как расположены прямые:

а) $AB_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $BD_1$;

в) $AC_1$ и $BD_1$,

проходящие через вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?

Для определения взаимного расположения прямых в пространстве, проходящих через вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, рассмотрим каждую пару отдельно.

Решение
Прямая $AB_1$ является диагональю передней грани куба $ABB_1A_1$. Прямая $BC_1$ является диагональю боковой (правой) грани куба $BCC_1B_1$. Эти прямые не лежат в одной плоскости. Если бы они лежали в одной плоскости, то все четыре точки $A, B_1, B, C_1$ принадлежали бы этой плоскости. Однако точки $A, B, B_1$ однозначно задают плоскость грани $ABB_1A_1$, а точка $C_1$ этой плоскости не принадлежит. Прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Они не пересекаются и не параллельны. Можно также доказать, что они не пересекаются, рассмотрев плоскости, в которых они лежат. Плоскости $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ пересекаются по ребру $BB_1$. Точка возможного пересечения прямых $AB_1$ и $BC_1$ должна лежать на этом ребре. Но прямая $AB_1$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $B_1$, а прямая $BC_1$ пересекает прямую $BB_1$ в точке $B$. Так как точки $B$ и $B_1$ различны, прямые не имеют общих точек. Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

Решение
Прямая $AA_1$ — это боковое ребро куба. Прямая $BD_1$ соединяет вершину $B$ нижнего основания и вершину $D_1$ верхнего основания. Воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Рассмотрим плоскость левой грани $ADD_1A_1$. Прямая $AA_1$ целиком лежит в этой плоскости. Прямая $BD_1$ пересекает эту плоскость в точке $D_1$ (так как точка $D_1$ принадлежит ей, а точка $B$ — нет). Точка пересечения $D_1$ не лежит на прямой $AA_1$. Следовательно, по указанному признаку, прямые $AA_1$ и $BD_1$ скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

Решение
Прямые $AC_1$ и $BD_1$ являются большими (пространственными) диагоналями куба. Рассмотрим четырехугольник $ABC_1D_1$. В кубе ребро $AB$ параллельно и равно ребру $D_1C_1$. По признаку параллелограмма (если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм), четырехугольник $ABC_1D_1$ является параллелограммом. Диагонали параллелограмма ($AC_1$ и $BD_1$) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BD_1$ пересекаются. Точка их пересечения является центром симметрии куба.
Ответ: пересекающиеся.