Номер 31, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

...и $BD$,

c) $AC_1$ и $DD_1$ скрещиваются.

31. Докажите, что для пирамиды $SABCDEF$ прямые $SA$ и:

а) $BC$;

б) $CD$ скрещиваются.

Дано:

SABCDEF — шестиугольная пирамида с вершиной S и основанием ABCDEF.

Найти:

Доказать, что скрещиваются прямые:

а) SA и BC

б) SA и CD

Решение:

Для доказательства обоих пунктов воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

В качестве такой плоскости выберем плоскость основания пирамиды $(ABC)$.

а) BC

1. Прямая BC является стороной основания пирамиды, следовательно, она целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$. Запишем это как $BC \subset (ABC)$.

2. Прямая SA является боковым ребром пирамиды. Точка A принадлежит прямой SA и лежит в плоскости основания $(ABC)$. Вершина S, по определению пирамиды, не лежит в плоскости основания, то есть $S \notin (ABC)$. Следовательно, прямая SA пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке A.

3. Точки A, B, C являются последовательными вершинами шестиугольника в основании. Следовательно, они не лежат на одной прямой, и точка A не принадлежит прямой BC ($A \notin BC$).

4. Таким образом, имеем: прямая BC лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая SA пересекает эту плоскость в точке A, которая не принадлежит прямой BC. По признаку скрещивающихся прямых, прямые SA и BC скрещиваются.

Ответ: Прямые SA и BC скрещиваются, что и требовалось доказать.

б) CD

1. Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Прямая CD является стороной основания, поэтому она целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$. Запишем это как $CD \subset (ABC)$.

2. Прямая SA, как было показано ранее, пересекает плоскость $(ABC)$ в точке A.

3. Точки A, C, D являются вершинами шестиугольника ABCDEF. В невырожденном шестиугольнике эти три вершины не могут лежать на одной прямой. Следовательно, точка A не принадлежит прямой CD ($A \notin CD$).

4. Итак, прямая CD лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая SA пересекает эту плоскость в точке A, не принадлежащей прямой CD. По признаку скрещивающихся прямых делаем вывод, что прямые SA и CD скрещиваются.

Ответ: Прямые SA и CD скрещиваются, что и требовалось доказать.