Номер 26, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые:

а) $AB$ и $E_1D_1$;

б) $AA_1$ и $DD_1$;

в) $AC_1$ и $FD_1$.

а)

Решение:
1. Так как призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ является правильной, её основания ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ — это правильные шестиугольники. Плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.
2. Верхнее основание A₁B₁C₁D₁E₁F₁ является результатом параллельного переноса нижнего основания ABCDEF. Следовательно, соответствующие стороны оснований параллельны. В частности, сторона E₁D₁ верхнего основания параллельна стороне ED нижнего основания: $E_1D_1 \parallel ED$.
3. В правильном шестиугольнике ABCDEF противолежащие стороны параллельны. Стороны AB и ED являются противолежащими, следовательно, $AB \parallel ED$.
4. Имеем два факта: $AB \parallel ED$ и $E_1D_1 \parallel ED$. Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей, прямые AB и E₁D₁ параллельны между собой: $AB \parallel E_1D_1$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Прямые AB и E₁D₁ параллельны.

б)

Решение:
1. По определению призмы, её боковые рёбра — это отрезки, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Прямые AA₁ и DD₁ содержат боковые рёбра призмы.
2. В любой призме по определению все боковые рёбра параллельны друг другу. Это свойство следует из того, что призма может быть образована параллельным переносом одного основания на место другого, при котором все вершины перемещаются по параллельным траекториям.
3. Следовательно, прямая AA₁, содержащая боковое ребро AA₁, параллельна прямой DD₁, содержащей боковое ребро DD₁.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Прямые AA₁ и DD₁ параллельны.

в)

Решение:
Для доказательства параллельности прямых AC₁ и FD₁ докажем равенство векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$.
1. Используя правило сложения векторов, выразим векторы $\vec{AC_1}$ и $\vec{FD_1}$:
$\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$
$\vec{FD_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$
2. Так как ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ — призма, её боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие боковым рёбрам, равны: $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.
3. Из этого следует, что равенство $\vec{AC_1} = \vec{FD_1}$ будет верным, если будет верным равенство $\vec{AC} = \vec{FD}$.
4. Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник ABCDEF. Докажем, что в нём $\vec{AC} = \vec{FD}$. Для этого рассмотрим четырёхугольник ACDF.
5. В правильном шестиугольнике большие диагонали (соединяющие противолежащие вершины), такие как AD и CF, пересекаются в центре шестиугольника O и делятся этой точкой пополам.
6. Поскольку диагонали четырёхугольника ACDF (диагонали AD и CF) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то по признаку параллелограмма четырёхугольник ACDF является параллелограммом.
7. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона AC параллельна стороне FD, и их длины равны ($AC = FD$). Направление от вершины A к C совпадает с направлением от F к D. Таким образом, векторы, лежащие на этих сторонах, равны: $\vec{AC} = \vec{FD}$.
8. Так как $\vec{AC} = \vec{FD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$, то и $\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{FD} + \vec{DD_1}$, что означает $\vec{AC_1} = \vec{FD_1}$.
9. Равенство векторов означает, что они коллинеарны (параллельны) и одинаково направлены. Следовательно, прямые AC₁ и FD₁, содержащие эти векторы, параллельны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Прямые AC₁ и FD₁ параллельны.