Номер 20, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Может ли пирамида иметь:

а) $9$;

б) $10$;

в) $12$;

г) $15$ ребер?

Решение

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник, имеющий $n$ сторон ($n$-угольник). У этого многоугольника $n$ ребер, которые являются ребрами основания пирамиды. Кроме того, каждая из $n$ вершин основания соединена с вершиной пирамиды боковым ребром. Таким образом, у пирамиды есть $n$ ребер в основании и $n$ боковых ребер.

Общее число ребер пирамиды ($E$) вычисляется по формуле: $E = n + n = 2n$

Где $n$ — это число сторон многоугольника в основании. Важно, что $n$ должно быть целым числом, и, поскольку многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, $n \ge 3$. Из формулы следует, что общее число ребер любой пирамиды всегда является четным числом, не меньшим $2 \times 3 = 6$.

Проанализируем каждый случай:

а) Может ли пирамида иметь 9 ребер?
Согласно формуле, $E = 2n$. Если $E = 9$, то $2n = 9$, откуда $n = 4.5$. Число сторон основания $n$ должно быть целым числом. Поскольку $4.5$ не является целым числом, пирамида не может иметь 9 ребер. Кроме того, 9 — нечетное число, а число ребер пирамиды всегда четное.
Ответ: нет.

б) Может ли пирамида иметь 10 ребер?
Если $E = 10$, то $2n = 10$, откуда $n = 5$. Число $n=5$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Следовательно, пирамида может иметь 10 ребер. Это будет пирамида, в основании которой лежит пятиугольник.
Ответ: да.

в) Может ли пирамида иметь 12 ребер?
Если $E = 12$, то $2n = 12$, откуда $n = 6$. Число $n=6$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Следовательно, пирамида может иметь 12 ребер. Это будет пирамида, в основании которой лежит шестиугольник.
Ответ: да.

г) Может ли пирамида иметь 15 ребер?
Если $E = 15$, то $2n = 15$, откуда $n = 7.5$. Число сторон основания $n$ должно быть целым числом. Поскольку $7.5$ не является целым числом, пирамида не может иметь 15 ребер. Кроме того, 15 — нечетное число.
Ответ: нет.