Номер 13, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Может ли призма иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 ребер?

Решение

Любая призма имеет два основания, являющиеся равными n-угольниками, и $n$ боковых граней. Количество ребер призмы складывается из ребер двух оснований и боковых ребер.
- В каждом из двух оснований по $n$ ребер. Всего $2n$ ребер.
- Количество боковых ребер, соединяющих вершины оснований, также равно $n$.
Таким образом, общее количество ребер $K$ для $n$-угольной призмы определяется формулой:
$K = 2n + n = 3n$
Здесь $n$ — это количество сторон многоугольника в основании, которое должно быть целым числом не меньше 3 ($n \ge 3$). Это означает, что общее количество ребер призмы всегда должно делиться на 3 без остатка.
Теперь проверим каждый случай.

а) 9;

Проверим, может ли призма иметь 9 ребер. Для этого число 9 должно делиться на 3.
$n = K / 3 = 9 / 3 = 3$.
Так как мы получили целое число $n=3$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$, то такая призма существует. Это треугольная призма.
Ответ: да, может.

б) 10;

Проверим, может ли призма иметь 10 ребер.
$n = K / 3 = 10 / 3$.
Поскольку число 10 не делится на 3 нацело, $n$ не является целым числом. Следовательно, призма не может иметь 10 ребер.
Ответ: нет, не может.

в) 12;

Проверим, может ли призма иметь 12 ребер.
$n = K / 3 = 12 / 3 = 4$.
Мы получили целое число $n=4$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Такая призма существует — это четырехугольная призма.
Ответ: да, может.

г) 15 ребер?

Проверим, может ли призма иметь 15 ребер.
$n = K / 3 = 15 / 3 = 5$.
Мы получили целое число $n=5$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Такая призма существует — это пятиугольная призма.
Ответ: да, может.