Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Дано:
Прямая $a$ и прямая $b$ — пересекающиеся прямые.
$a \cap b = M$, где $M$ — точка пересечения.

Найти:
Доказать, что существует единственная плоскость $\alpha$, такая, что $a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$.

Решение:
Доказательство состоит из двух логических частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства ее единственности.

Доказательство существования.
На прямой $a$ выберем точку $A$, не совпадающую с точкой пересечения $M$. На прямой $b$ выберем точку $B$, также не совпадающую с $M$. В результате мы получим три точки: $A$, $B$ и $M$.
Эти три точки не лежат на одной прямой. Если предположить обратное, что они лежат на одной прямой, то эта прямая должна совпадать одновременно и с прямой $a$ (так как через точки $A$ и $M$ проходит только одна прямая), и с прямой $b$ (так как через точки $B$ и $M$ проходит только одна прямая). Это означало бы, что прямые $a$ и $b$ совпадают, что противоречит условию о том, что это две разные пересекающиеся прямые.
Следовательно, точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой.
Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$.
Теперь покажем, что эта плоскость содержит обе исходные прямые. По следствию из аксиом, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Так как точки $A$ и $M$ принадлежат прямой $a$ и одновременно лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
Аналогично, так как точки $B$ и $M$ принадлежат прямой $b$ и лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
Таким образом, существование плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, доказано.

Доказательство единственности.
Предположим, что существует некоторая другая плоскость $\beta$, которая также проходит через прямые $a$ и $b$.
Это означает, что плоскость $\beta$ содержит все точки этих прямых, включая выбранные нами ранее точки $A$, $B$ и $M$.
Таким образом, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через три одни и те же точки $A$, $B$ и $M$, которые, как мы доказали, не лежат на одной прямой.
Согласно той же аксиоме о трех точках, через них может проходить только одна плоскость. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.
Следовательно, плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, единственна.

Ответ: Утверждение доказано. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.