Номер 4, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство:

а) две плоскости;

б) три плоскости;

в)* четыре плоскости.

а) две плоскости
Одна плоскость делит пространство на 2 части. Для получения максимального количества областей вторая плоскость должна пересекать первую. В этом случае вторая плоскость разделит обе уже существующие части, добавив 2 новые области. Общее количество частей станет равным $2 + 2 = 4$. Если же плоскости будут параллельны, они разделят пространство только на 3 части.
Ответ: 4

б) три плоскости
Две пересекающиеся плоскости делят пространство на 4 части. Третья плоскость, для создания максимального числа новых частей, должна пересечь обе предыдущие плоскости, причём линии пересечения не должны быть параллельны. В этом случае три плоскости пересекутся в одной точке. Две линии пересечения на третьей плоскости разделят её на 4 области. Каждая из этих 4 областей, в свою очередь, разделит одну из 4 существующих частей пространства, добавив 4 новые части. Итоговое число частей: $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8

в)* четыре плоскости
Три плоскости, расположенные в общем положении (пересекаются в одной точке), делят пространство на 8 частей. Чтобы получить максимальное количество новых частей, четвёртая плоскость должна пересечь все три предыдущие. Линии пересечения на четвёртой плоскости (их будет три) не должны быть параллельны и не должны пересекаться в одной точке, то есть они должны образовывать треугольник. Три такие прямые делят плоскость на 7 областей. Каждая из этих 7 областей разделит одну из 8 существующих частей пространства надвое, добавив 7 новых частей. Итоговое число частей: $8 + 7 = 15$.
Существует общая формула для максимального числа частей $L_n$, на которые $n$ плоскостей делят пространство:
$L_n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}$
Для $n=4$:
$L_4 = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} = 1 + 4 + 6 + 4 = 15$.
Ответ: 15