Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из:

а) четырех;

б) пяти;

в)* ${n}$ точек, никакие четыре из которых не

принадлежат одной плоскости?

Для решения этой задачи используется одна из аксиом стереометрии, которая гласит, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Условие задачи "никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости" гарантирует, что каждая выбранная тройка точек будет определять новую, уникальную плоскость.

Таким образом, чтобы найти количество плоскостей, необходимо вычислить, сколькими способами можно выбрать 3 точки из общего их числа. Это комбинаторная задача нахождения числа сочетаний. Формула для числа сочетаний из n элементов по k:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем тройки точек, поэтому $k=3$. Формула принимает вид:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

а)

Дано:

Количество точек: $n = 4$.

Найти:

Количество плоскостей.

Решение:

Применим формулу числа сочетаний для $n=4$ и $k=3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Ответ: 4.

б)

Дано:

Количество точек: $n = 5$.

Найти:

Количество плоскостей.

Решение:

Применим формулу числа сочетаний для $n=5$ и $k=3$:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 10.

в)

Дано:

Количество точек: $n$.

Найти:

Количество плоскостей.

Решение:

Для общего случая с n точками используем общую формулу числа сочетаний из n по 3:

$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Эта формула определяет количество плоскостей, которые можно провести через n точек при заданных условиях.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.