Страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сколько прямых проходит через различные пары из:

a) трех;

б) четырех;

в) пяти;

г)* $n$ точек в пространстве, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Решение

Согласно аксиоме стереометрии, через любые две различные точки в пространстве проходит единственная прямая. По условию задачи, никакие три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая пара точек однозначно определяет уникальную прямую.

Таким образом, чтобы найти общее количество прямых, необходимо вычислить, сколько различных пар точек можно составить из заданного их количества. Эта задача решается с помощью комбинаторики, а именно — нахождения числа сочетаний из n элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из n по 2 ($C_n^2$) выглядит следующим образом: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Применим эту формулу для каждого из пунктов задачи.

а) Для трех точек ($n = 3$):
Количество прямых = $C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.
Ответ: 3.

б) Для четырех точек ($n = 4$):
Количество прямых = $C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Ответ: 6.

в) Для пяти точек ($n = 5$):
Количество прямых = $C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Ответ: 10.

г)* Для n точек:
Количество прямых определяется по общей формуле для числа сочетаний из n по 2.
Количество прямых = $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.

2. Сколько плоскостей может проходить через три точки пространства?

Решение

Количество плоскостей, которые можно провести через три точки в пространстве, зависит от их взаимного расположения. Существует два возможных варианта:

1. Три точки не лежат на одной прямой.

В этом случае, согласно основной аксиоме стереометрии, через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Такие три точки однозначно задают положение плоскости в пространстве. Например, штатив для фотоаппарата или треногий стул устойчивы, потому что их три опоры всегда определяют одну-единственную плоскость.

2. Три точки лежат на одной прямой (коллинеарны).

Если все три точки принадлежат одной прямой, то через эту прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Прямая будет являться линией пересечения для всех этих плоскостей. Это можно представить как ось, вокруг которой вращаются плоскости, или как корешок книги, где каждая страница — это отдельная плоскость, проходящая через этот корешок.

Ответ: Если три точки не лежат на одной прямой, то через них проходит ровно одна плоскость. Если три точки лежат на одной прямой, то через них проходит бесконечно много плоскостей.

3. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из:

а) четырех;

б) пяти;

в)* ${n}$ точек, никакие четыре из которых не

принадлежат одной плоскости?

Для решения этой задачи используется одна из аксиом стереометрии, которая гласит, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Условие задачи "никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости" гарантирует, что каждая выбранная тройка точек будет определять новую, уникальную плоскость.

Таким образом, чтобы найти количество плоскостей, необходимо вычислить, сколькими способами можно выбрать 3 точки из общего их числа. Это комбинаторная задача нахождения числа сочетаний. Формула для числа сочетаний из n элементов по k:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем тройки точек, поэтому $k=3$. Формула принимает вид:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

а)

Дано:

Количество точек: $n = 4$.

Найти:

Количество плоскостей.

Решение:

Применим формулу числа сочетаний для $n=4$ и $k=3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Ответ: 4.

б)

Дано:

Количество точек: $n = 5$.

Найти:

Количество плоскостей.

Решение:

Применим формулу числа сочетаний для $n=5$ и $k=3$:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 10.

в)

Дано:

Количество точек: $n$.

Найти:

Количество плоскостей.

Решение:

Для общего случая с n точками используем общую формулу числа сочетаний из n по 3:

$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Эта формула определяет количество плоскостей, которые можно провести через n точек при заданных условиях.

Ответ: $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

4. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство:

а) две плоскости;

б) три плоскости;

в)* четыре плоскости.

а) две плоскости
Одна плоскость делит пространство на 2 части. Для получения максимального количества областей вторая плоскость должна пересекать первую. В этом случае вторая плоскость разделит обе уже существующие части, добавив 2 новые области. Общее количество частей станет равным $2 + 2 = 4$. Если же плоскости будут параллельны, они разделят пространство только на 3 части.
Ответ: 4

б) три плоскости
Две пересекающиеся плоскости делят пространство на 4 части. Третья плоскость, для создания максимального числа новых частей, должна пересечь обе предыдущие плоскости, причём линии пересечения не должны быть параллельны. В этом случае три плоскости пересекутся в одной точке. Две линии пересечения на третьей плоскости разделят её на 4 области. Каждая из этих 4 областей, в свою очередь, разделит одну из 4 существующих частей пространства, добавив 4 новые части. Итоговое число частей: $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8

в)* четыре плоскости
Три плоскости, расположенные в общем положении (пересекаются в одной точке), делят пространство на 8 частей. Чтобы получить максимальное количество новых частей, четвёртая плоскость должна пересечь все три предыдущие. Линии пересечения на четвёртой плоскости (их будет три) не должны быть параллельны и не должны пересекаться в одной точке, то есть они должны образовывать треугольник. Три такие прямые делят плоскость на 7 областей. Каждая из этих 7 областей разделит одну из 8 существующих частей пространства надвое, добавив 7 новых частей. Итоговое число частей: $8 + 7 = 15$.
Существует общая формула для максимального числа частей $L_n$, на которые $n$ плоскостей делят пространство:
$L_n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}$
Для $n=4$:
$L_4 = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} = 1 + 4 + 6 + 4 = 15$.
Ответ: 15

5. Докажите, что если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.

Решение

Данное утверждение является следствием одной из основных аксиом стереометрии. Доказательство строится на прямом применении этой аксиомы.

Пусть нам даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$.

По условию задачи, прямая $a$ имеет с плоскостью $\alpha$ две различные общие точки. Обозначим эти точки буквами $A$ и $B$.

Тот факт, что точки $A$ и $B$ являются общими для прямой и плоскости, означает, что обе точки принадлежат как прямой $a$, так и плоскости $\alpha$. Математически это записывается так:
$A \in a$ и $B \in a$
$A \in \alpha$ и $B \in \alpha$

Теперь обратимся к аксиоме стереометрии (в разных учебниках она может называться аксиомой С₂ или следствием из аксиом), которая гласит: Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Так как в нашем случае две точки ($A$ и $B$) прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то на основании этой аксиомы мы можем сделать вывод, что каждая точка прямой $a$ принадлежит плоскости $\alpha$.

По определению, это означает, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ (обозначается как $a \subset \alpha$).

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказательство основывается на аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком принадлежит этой плоскости. Поскольку по условию у прямой и плоскости есть две общие точки, то, согласно этой аксиоме, прямая лежит в данной плоскости. Что и требовалось доказать.

6. Докажите, что через прямую и не принадлежащую ей точку
проходит единственная плоскость.

Для доказательства данного утверждения необходимо последовательно доказать два факта: что такая плоскость существует, и что она единственна. В основе доказательства лежат аксиомы стереометрии.

1. Доказательство существования плоскости.
Пусть нам дана прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на прямой $a$ (записывается как $M \notin a$).
На прямой $a$ мы всегда можем выбрать две различные точки. Назовем их $A$ и $B$.
Теперь у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны), так как по условию точка $M$ не принадлежит прямой $a$, на которой лежат точки $A$ и $B$.
Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Следовательно, через точки $A$, $B$ и $M$ можно провести плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.
Теперь нам нужно убедиться, что вся прямая $a$ лежит в этой плоскости. Согласно следствию из аксиом: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$ и на прямой $a$, то вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
Таким образом, мы доказали существование плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и точку $M$.

2. Доказательство единственности плоскости.
Теперь докажем, что такая плоскость может быть только одна. Допустим, существует какая-то другая плоскость $\beta$, которая также проходит через прямую $a$ и точку $M$.
Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, это означает, что она содержит все точки этой прямой, включая наши точки $A$ и $B$.
По нашему допущению, плоскость $\beta$ также проходит и через точку $M$.
Получается, что плоскость $\beta$ проходит через те же самые три неколлинеарные точки $A$, $B$ и $M$.
Однако, согласно той же самой аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.
Отсюда следует, что плоскость $\beta$ не может быть другой плоскостью, она обязана совпадать с плоскостью $\alpha$. Наше предположение о существовании второй плоскости было неверным.
Следовательно, плоскость, проходящая через прямую $a$ и не принадлежащую ей точку $M$, единственна.

Ответ: Утверждение доказано. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна. Это утверждение является прямым следствием аксиомы о том, что через три любые точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

7. Докажите, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Дано:
Прямая $a$ и прямая $b$ — пересекающиеся прямые.
$a \cap b = M$, где $M$ — точка пересечения.

Найти:
Доказать, что существует единственная плоскость $\alpha$, такая, что $a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$.

Решение:
Доказательство состоит из двух логических частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства ее единственности.

Доказательство существования.
На прямой $a$ выберем точку $A$, не совпадающую с точкой пересечения $M$. На прямой $b$ выберем точку $B$, также не совпадающую с $M$. В результате мы получим три точки: $A$, $B$ и $M$.
Эти три точки не лежат на одной прямой. Если предположить обратное, что они лежат на одной прямой, то эта прямая должна совпадать одновременно и с прямой $a$ (так как через точки $A$ и $M$ проходит только одна прямая), и с прямой $b$ (так как через точки $B$ и $M$ проходит только одна прямая). Это означало бы, что прямые $a$ и $b$ совпадают, что противоречит условию о том, что это две разные пересекающиеся прямые.
Следовательно, точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой.
Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$.
Теперь покажем, что эта плоскость содержит обе исходные прямые. По следствию из аксиом, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Так как точки $A$ и $M$ принадлежат прямой $a$ и одновременно лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
Аналогично, так как точки $B$ и $M$ принадлежат прямой $b$ и лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
Таким образом, существование плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, доказано.

Доказательство единственности.
Предположим, что существует некоторая другая плоскость $\beta$, которая также проходит через прямые $a$ и $b$.
Это означает, что плоскость $\beta$ содержит все точки этих прямых, включая выбранные нами ранее точки $A$, $B$ и $M$.
Таким образом, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через три одни и те же точки $A$, $B$ и $M$, которые, как мы доказали, не лежат на одной прямой.
Согласно той же аксиоме о трех точках, через них может проходить только одна плоскость. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.
Следовательно, плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, единственна.

Ответ: Утверждение доказано. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

8. Сколько:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней имеет куб?

Решение

Куб – это правильный многогранник (одно из пяти Платоновых тел), у которого все грани являются квадратами. Чтобы определить количество его структурных элементов (вершин, ребер и граней), можно их последовательно пересчитать.

а) вершин
Вершина в геометрии — это точка, в которой сходятся ребра многогранника. У куба можно выделить 4 вершины на нижнем основании и 4 вершины на верхнем.
Всего: $4 \text{ (на нижнем основании)} + 4 \text{ (на верхнем основании)} = 8$ вершин.
Ответ: 8.

б) ребер
Ребро — это отрезок, соединяющий две соседние вершины многогранника. У куба есть 4 ребра на нижнем основании, 4 ребра на верхнем основании и 4 боковых ребра, соединяющих соответствующие вершины оснований.
Всего: $4 \text{ (на нижнем основании)} + 4 \text{ (на верхнем основании)} + 4 \text{ (боковые)} = 12$ ребер.
Ответ: 12.

в) граней
Грань — это плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника. У куба 6 граней, и все они — квадраты. Это нижняя и верхняя грани, а также 4 боковые грани.
Всего: $1 \text{ (нижняя)} + 1 \text{ (верхняя)} + 4 \text{ (боковые)} = 6$ граней.
Ответ: 6.

Правильность подсчетов можно проверить с помощью теоремы Эйлера для многогранников, которая гласит, что для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — количество вершин, $Р$ — количество ребер, а $Г$ — количество граней.
Подставим наши значения:
$8 - 12 + 6 = 2$
$-4 + 6 = 2$
$2 = 2$
Соотношение верно, значит, количество вершин, ребер и граней найдено правильно.

9. Сколько:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней имеет параллелепипед?

а) вершин

Параллелепипед — это многогранник, у которого два основания (нижнее и верхнее) являются параллельными и равными параллелограммами. Вершины — это точки, в которых сходятся ребра. У нижнего основания 4 вершины и у верхнего основания 4 вершины. Общее количество вершин равно сумме вершин этих двух оснований: $4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.

б) ребер

Ребро — это отрезок, соединяющий две вершины многогранника. У параллелепипеда есть 4 ребра в нижнем основании, 4 ребра в верхнем основании и 4 боковых ребра, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Таким образом, общее количество ребер равно: $4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12.

в) граней

Грань — это плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника. Параллелепипед ограничен шестью гранями. Он имеет два основания (верхнее и нижнее) и четыре боковые грани. Все грани параллелепипеда являются параллелограммами. Общее количество граней равно: $2 \text{ (основания)} + 4 \text{ (боковые грани)} = 6$.
Для проверки можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, $Г$ — число граней. Подставим наши значения: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство выполняется, что подтверждает правильность подсчетов.

Ответ: 6.

10. Сколько вершин имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

Дано:

а) треугольная призма
б) четырехугольная призма
в) пятиугольная призма
г) шестиугольная призма
д) n-угольная призма

Найти:

Количество вершин для каждого вида призмы.

Решение:

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Количество вершин призмы можно определить по количеству вершин её основания. Если в основании призмы лежит n-угольник, то у этого основания есть $n$ вершин. Так как у призмы два основания (верхнее и нижнее), то общее количество вершин будет в два раза больше, чем у одного основания.

Формула для нахождения числа вершин ($В$) n-угольной призмы: $В = 2 \times n$ где $n$ — количество вершин многоугольника в основании.

а) треугольная призма

В основании треугольной призмы лежит треугольник. У треугольника 3 вершины, следовательно, $n=3$. Число вершин: $В = 2 \times 3 = 6$.

Ответ: 6 вершин.

б) четырехугольная призма

В основании четырехугольной призмы лежит четырехугольник. У четырехугольника 4 вершины, следовательно, $n=4$. Число вершин: $В = 2 \times 4 = 8$.

Ответ: 8 вершин.

в) пятиугольная призма

В основании пятиугольной призмы лежит пятиугольник. У пятиугольника 5 вершин, следовательно, $n=5$. Число вершин: $В = 2 \times 5 = 10$.

Ответ: 10 вершин.

г) шестиугольная призма

В основании шестиугольной призмы лежит шестиугольник. У шестиугольника 6 вершин, следовательно, $n=6$. Число вершин: $В = 2 \times 6 = 12$.

Ответ: 12 вершин.

д) n-угольная призма

В основании n-угольной призмы лежит n-угольник. У n-угольника $n$ вершин. Число вершин: $В = 2 \times n = 2n$.

Ответ: $2n$ вершин.

11. Может ли призма иметь:

а) 9 вершин?

б) 10 вершин?

в) 12 вершин?

г) 15 вершин?

Решение

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У этого n-угольника $n$ вершин. Так как у призмы два основания (верхнее и нижнее), то общее число вершин призмы $V$ равно удвоенному числу вершин одного основания: $V = 2n$.

Из этой формулы следует, что число вершин любой призмы всегда является четным числом. Кроме того, поскольку многоугольник в основании должен иметь как минимум 3 вершины (треугольник), то $n \ge 3$, а значит общее число вершин $V \ge 2 \times 3 = 6$.

Проверим каждый из предложенных вариантов, может ли число вершин $V$ быть равным заданным значениям.

а) 9

Число 9 является нечетным. Так как число вершин призмы $V$ всегда должно быть четным ($V = 2n$), призма не может иметь 9 вершин. Если бы это было возможно, то из уравнения $2n = 9$ мы бы получили $n = 4.5$. Однако число сторон основания $n$ должно быть целым числом ($n \ge 3$).

Ответ: нет, не может.

б) 10

Число 10 является четным. Проверим, существует ли призма с таким количеством вершин. Пусть $V = 10$. Тогда из формулы $V = 2n$ получаем $2n = 10$, откуда $n = 5$. Так как $n=5$ — это целое число и $5 \ge 3$, то в основании призмы может лежать пятиугольник. Такая призма (пятиугольная) существует.

Ответ: да, может.

в) 12

Число 12 является четным. Пусть $V = 12$. Тогда $2n = 12$, откуда $n = 6$. Так как $n=6$ — это целое число и $6 \ge 3$, то в основании призмы может лежать шестиугольник. Такая призма (шестиугольная) существует.

Ответ: да, может.

г) 15

Число 15 является нечетным. Следовательно, призма не может иметь 15 вершин, так как общее число вершин всегда четно. Если бы это было возможно, то $2n = 15$, откуда $n = 7.5$, что не является целым числом.

Ответ: нет, не может.

12. Сколько ребер имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

Решение

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами. Чтобы найти общее количество рёбер призмы, нужно сложить количество рёбер в двух её основаниях и количество боковых рёбер.

Пусть в основании призмы лежит n-угольник, то есть многоугольник, у которого $n$ сторон.

Тогда у верхнего основания будет $n$ рёбер. У нижнего основания — тоже $n$ рёбер. Боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований, их количество также равно $n$.

Таким образом, общее количество рёбер ($K$) в n-угольной призме вычисляется по формуле:

$K = (\text{рёбра верхнего основания}) + (\text{рёбра нижнего основания}) + (\text{боковые рёбра})$

$K = n + n + n = 3n$

Теперь, используя эту формулу, найдём количество рёбер для каждого указанного типа призмы.

а) треугольная

В основании треугольной призмы лежит треугольник, у которого 3 стороны ($n=3$).

Число рёбер: $K = 3 \times 3 = 9$.

Ответ: 9.

б) четырехугольная

В основании четырехугольной призмы лежит четырехугольник, у которого 4 стороны ($n=4$).

Число рёбер: $K = 3 \times 4 = 12$.

Ответ: 12.

в) пятиугольная

В основании пятиугольной призмы лежит пятиугольник, у которого 5 сторон ($n=5$).

Число рёбер: $K = 3 \times 5 = 15$.

Ответ: 15.

г) шестиугольная

В основании шестиугольной призмы лежит шестиугольник, у которого 6 сторон ($n=6$).

Число рёбер: $K = 3 \times 6 = 18$.

Ответ: 18.

д) n-угольная

Для призмы, в основании которой лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), общее число рёбер определяется по выведенной общей формуле.

Число рёбер: $K = 3n$.

Ответ: $3n$.

13. Может ли призма иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 ребер?

Решение

Любая призма имеет два основания, являющиеся равными n-угольниками, и $n$ боковых граней. Количество ребер призмы складывается из ребер двух оснований и боковых ребер.
- В каждом из двух оснований по $n$ ребер. Всего $2n$ ребер.
- Количество боковых ребер, соединяющих вершины оснований, также равно $n$.
Таким образом, общее количество ребер $K$ для $n$-угольной призмы определяется формулой:
$K = 2n + n = 3n$
Здесь $n$ — это количество сторон многоугольника в основании, которое должно быть целым числом не меньше 3 ($n \ge 3$). Это означает, что общее количество ребер призмы всегда должно делиться на 3 без остатка.
Теперь проверим каждый случай.

а) 9;

Проверим, может ли призма иметь 9 ребер. Для этого число 9 должно делиться на 3.
$n = K / 3 = 9 / 3 = 3$.
Так как мы получили целое число $n=3$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$, то такая призма существует. Это треугольная призма.
Ответ: да, может.

б) 10;

Проверим, может ли призма иметь 10 ребер.
$n = K / 3 = 10 / 3$.
Поскольку число 10 не делится на 3 нацело, $n$ не является целым числом. Следовательно, призма не может иметь 10 ребер.
Ответ: нет, не может.

в) 12;

Проверим, может ли призма иметь 12 ребер.
$n = K / 3 = 12 / 3 = 4$.
Мы получили целое число $n=4$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Такая призма существует — это четырехугольная призма.
Ответ: да, может.

г) 15 ребер?

Проверим, может ли призма иметь 15 ребер.
$n = K / 3 = 15 / 3 = 5$.
Мы получили целое число $n=5$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Такая призма существует — это пятиугольная призма.
Ответ: да, может.

14. Сколько граней имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

а) В основании треугольной призмы лежит треугольник. У треугольника 3 стороны, поэтому у призмы 3 боковые грани. Кроме боковых граней, у призмы есть два основания (верхнее и нижнее). Итого, общее количество граней: $2$ (основания) $+ 3$ (боковые) $= 5$. Ответ: 5.

б) В основании четырехугольной призмы лежит четырехугольник. У него 4 стороны, значит, у призмы 4 боковые грани. Вместе с двумя основаниями общее количество граней составляет: $2 + 4 = 6$. Ответ: 6.

в) В основании пятиугольной призмы лежит пятиугольник. У него 5 сторон, что соответствует 5 боковым граням. Вместе с двумя основаниями общее количество граней равно: $2 + 5 = 7$. Ответ: 7.

г) В основании шестиугольной призмы лежит шестиугольник. У него 6 сторон, поэтому у призмы 6 боковых граней. Общее число граней, включая два основания: $2 + 6 = 8$. Ответ: 8.

д) В общем случае, у $n$-угольной призмы в основании лежит $n$-угольник, который имеет $n$ сторон. Это означает, что призма имеет $n$ боковых граней. Добавляя два основания, получаем общую формулу для числа граней любой призмы: $2 + n$. Ответ: $n + 2$.

15. Может ли призма иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Решение

Любая призма состоит из двух оснований и боковых граней. Если в основании призмы лежит $n$-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), то такую призму называют $n$-угольной. У $n$-угольной призмы есть 2 основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней, каждая из которых соединяет соответствующие стороны оснований.

Таким образом, общее количество граней $F$ у $n$-угольной призмы вычисляется по формуле: $F = n + 2$

Поскольку многоугольник в основании должен иметь как минимум 3 стороны, то $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$. Следовательно, общее число граней призмы $F$ должно быть целым числом, и $F \ge 3 + 2 = 5$.

Чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество граней $F$, нужно проверить, является ли число $n = F - 2$ целым числом, большим или равным 3.

а) 9 граней

Проверим, может ли призма иметь 9 граней. Пусть общее число граней $F = 9$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 9 - 2 = 7$. Число $n=7$ является целым и $7 \ge 3$. Следовательно, призма с 9 гранями существует. Это семиугольная призма.

Ответ: Да, может.

б) 10 граней

Проверим, может ли призма иметь 10 граней. Пусть $F = 10$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 10 - 2 = 8$. Число $n=8$ является целым и $8 \ge 3$. Следовательно, призма с 10 гранями существует. Это восьмиугольная призма.

Ответ: Да, может.

в) 12 граней

Проверим, может ли призма иметь 12 граней. Пусть $F = 12$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 12 - 2 = 10$. Число $n=10$ является целым и $10 \ge 3$. Следовательно, призма с 12 гранями существует. Это десятиугольная призма.

Ответ: Да, может.

г) 15 граней

Проверим, может ли призма иметь 15 граней. Пусть $F = 15$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 15 - 2 = 13$. Число $n=13$ является целым и $13 \ge 3$. Следовательно, призма с 15 гранями существует. Это тринадцатиугольная призма.

Ответ: Да, может.

16. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей:

а) 12;

б) 15;

в) 18 ребер?

Дано:
Рассматривается призма, у которой:
а) общее количество ребер равно 12;
б) общее количество ребер равно 15;
в) общее количество ребер равно 18.

Найти:
Какой многоугольник лежит в основании призмы для каждого из случаев.

Решение:
Любая призма имеет два одинаковых основания в форме многоугольника и боковые грани. Пусть в основании призмы лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами и $n$ вершинами).
Тогда количество ребер у такой призмы складывается из:
- $n$ ребер в нижнем основании;
- $n$ ребер в верхнем основании;
- $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований.
Таким образом, общее количество ребер $E$ в n-угольной призме вычисляется по формуле:
$E = n + n + n = 3n$
Зная общее количество ребер $E$, мы можем найти количество сторон $n$ многоугольника в основании, разделив $E$ на 3:
$n = \frac{E}{3}$
Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано общее количество ребер $E = 12$.
Найдем количество сторон $n$ многоугольника в основании:
$n = \frac{12}{3} = 4$
Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником.
Ответ: в основании призмы лежит четырехугольник.

б) Дано общее количество ребер $E = 15$.
Найдем количество сторон $n$ многоугольника в основании:
$n = \frac{15}{3} = 5$
Многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольником.
Ответ: в основании призмы лежит пятиугольник.

в) Дано общее количество ребер $E = 18$.
Найдем количество сторон $n$ многоугольника в основании:
$n = \frac{18}{3} = 6$
Многоугольник с шестью сторонами называется шестиугольником.
Ответ: в основании призмы лежит шестиугольник.

17. Сколько вершин имеет:
а) треугольная;
б) четырехугольная;
в) пятиугольная;
г) шестиугольная;
д) $n$-угольная пирамида?

а) треугольная

Треугольная пирамида имеет в основании треугольник. У треугольника 3 вершины. К этим 3 вершинам основания добавляется еще одна общая вершина пирамиды (апекс). Таким образом, общее количество вершин у треугольной пирамиды равно $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4 вершины.

б) четырехугольная

Четырехугольная пирамида имеет в основании четырехугольник. У четырехугольника 4 вершины. К этим 4 вершинам основания добавляется одна общая вершина (апекс). Следовательно, общее количество вершин у четырехугольной пирамиды составляет $4 + 1 = 5$.

Ответ: 5 вершин.

в) пятиугольная

Пятиугольная пирамида имеет в основании пятиугольник. У пятиугольника 5 вершин. К этим 5 вершинам основания добавляется одна общая вершина (апекс). Таким образом, общее количество вершин у пятиугольной пирамиды равно $5 + 1 = 6$.

Ответ: 6 вершин.

г) шестиугольная

Шестиугольная пирамида имеет в основании шестиугольник. У шестиугольника 6 вершин. К этим 6 вершинам основания добавляется одна общая вершина (апекс). Следовательно, общее количество вершин у шестиугольной пирамиды составляет $6 + 1 = 7$.

Ответ: 7 вершин.

д) n-угольная

В основании n-угольной пирамиды лежит n-угольник, который имеет $n$ вершин. К этим $n$ вершинам основания добавляется одна общая вершина пирамиды (апекс). Таким образом, общее количество вершин у n-угольной пирамиды можно найти по формуле: $n + 1$.

Ответ: $n + 1$ вершин.

18. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 вершин?

Решение

Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (которая называется вершиной пирамиды).

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У этого n-угольника есть $n$ вершин. Кроме этих вершин, у пирамиды есть еще одна вершина — вершина самой пирамиды, не лежащая в плоскости основания.

Таким образом, общее число вершин $V$ у пирамиды, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле: $V = n + 1$

где $n$ — это число вершин (и сторон) многоугольника в основании. Так как любой многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, то $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3$). Следовательно, общее число вершин пирамиды $V$ должно быть целым числом, не меньшим чем $3 + 1 = 4$.

Чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное число вершин $V$, необходимо проверить, можно ли для этого $V$ найти соответствующее целое число $n \ge 3$ по формуле $n = V - 1$.

а) 9

Проверим, может ли пирамида иметь 9 вершин. Пусть общее число вершин $V = 9$. Тогда число вершин в многоугольнике основания будет $n = V - 1 = 9 - 1 = 8$. Так как $n = 8$ является целым числом и $8 \ge 3$, то пирамида с 8-угольным основанием (восьмиугольная пирамида) существует и имеет $8 + 1 = 9$ вершин.
Ответ: Да, может.

б) 10

Проверим, может ли пирамида иметь 10 вершин. Пусть $V = 10$. Тогда число вершин в основании $n = V - 1 = 10 - 1 = 9$. Так как $n = 9$ является целым числом и $9 \ge 3$, то пирамида с 9-угольным основанием (девятиугольная пирамида) существует и имеет $9 + 1 = 10$ вершин.
Ответ: Да, может.

в) 12

Проверим, может ли пирамида иметь 12 вершин. Пусть $V = 12$. Тогда число вершин в основании $n = V - 1 = 12 - 1 = 11$. Так как $n = 11$ является целым числом и $11 \ge 3$, то пирамида с 11-угольным основанием (одиннадцатиугольная пирамида) существует и имеет $11 + 1 = 12$ вершин.
Ответ: Да, может.

г) 15

Проверим, может ли пирамида иметь 15 вершин. Пусть $V = 15$. Тогда число вершин в основании $n = V - 1 = 15 - 1 = 14$. Так как $n = 14$ является целым числом и $14 \ge 3$, то пирамида с 14-угольным основанием (четырнадцатиугольная пирамида) существует и имеет $14 + 1 = 15$ вершин.
Ответ: Да, может.

19. Сколько ребер имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная пирамида?

Количество рёбер любой пирамиды равно сумме количества рёбер многоугольника, лежащего в её основании, и количества боковых рёбер. Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то он имеет $n$ сторон (рёбер основания). Каждая из $n$ вершин основания соединена ребром с вершиной пирамиды, что даёт $n$ боковых рёбер. Следовательно, общее количество рёбер $K$ для n-угольной пирамиды можно найти по формуле: $K = (\text{рёбра основания}) + (\text{боковые рёбра}) = n + n = 2n$.

а) треугольная
Для треугольной пирамиды в основании лежит треугольник, у которого $n=3$. Общее количество рёбер: $K = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6.

б) четырехугольная
Для четырехугольной пирамиды в основании лежит четырехугольник, у которого $n=4$. Общее количество рёбер: $K = 2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8.

в) пятиугольная
Для пятиугольной пирамиды в основании лежит пятиугольник, у которого $n=5$. Общее количество рёбер: $K = 2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10.

г) шестиугольная
Для шестиугольной пирамиды в основании лежит шестиугольник, у которого $n=6$. Общее количество рёбер: $K = 2 \cdot 6 = 12$.
Ответ: 12.

д) n-угольная пирамида
Для n-угольной пирамиды в основании лежит n-угольник. Общее количество рёбер вычисляется по общей формуле: $K = 2n$.
Ответ: $2n$.

20. Может ли пирамида иметь:

а) $9$;

б) $10$;

в) $12$;

г) $15$ ребер?

Решение

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник, имеющий $n$ сторон ($n$-угольник). У этого многоугольника $n$ ребер, которые являются ребрами основания пирамиды. Кроме того, каждая из $n$ вершин основания соединена с вершиной пирамиды боковым ребром. Таким образом, у пирамиды есть $n$ ребер в основании и $n$ боковых ребер.

Общее число ребер пирамиды ($E$) вычисляется по формуле: $E = n + n = 2n$

Где $n$ — это число сторон многоугольника в основании. Важно, что $n$ должно быть целым числом, и, поскольку многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, $n \ge 3$. Из формулы следует, что общее число ребер любой пирамиды всегда является четным числом, не меньшим $2 \times 3 = 6$.

Проанализируем каждый случай:

а) Может ли пирамида иметь 9 ребер?
Согласно формуле, $E = 2n$. Если $E = 9$, то $2n = 9$, откуда $n = 4.5$. Число сторон основания $n$ должно быть целым числом. Поскольку $4.5$ не является целым числом, пирамида не может иметь 9 ребер. Кроме того, 9 — нечетное число, а число ребер пирамиды всегда четное.
Ответ: нет.

б) Может ли пирамида иметь 10 ребер?
Если $E = 10$, то $2n = 10$, откуда $n = 5$. Число $n=5$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Следовательно, пирамида может иметь 10 ребер. Это будет пирамида, в основании которой лежит пятиугольник.
Ответ: да.

в) Может ли пирамида иметь 12 ребер?
Если $E = 12$, то $2n = 12$, откуда $n = 6$. Число $n=6$ является целым и удовлетворяет условию $n \ge 3$. Следовательно, пирамида может иметь 12 ребер. Это будет пирамида, в основании которой лежит шестиугольник.
Ответ: да.

г) Может ли пирамида иметь 15 ребер?
Если $E = 15$, то $2n = 15$, откуда $n = 7.5$. Число сторон основания $n$ должно быть целым числом. Поскольку $7.5$ не является целым числом, пирамида не может иметь 15 ребер. Кроме того, 15 — нечетное число.
Ответ: нет.

21. Сколько граней имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная пирамида?

Решение

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (называемая основанием) — это произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые грани) — это треугольники, имеющие общую вершину.
Общее количество граней любой пирамиды равно сумме количества боковых граней и одной грани основания. Количество боковых граней всегда равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании.
Если в основании пирамиды лежит $n$-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), то такая пирамида имеет $n$ боковых граней и одно основание.
Следовательно, общее число граней $n$-угольной пирамиды вычисляется по формуле:
Количество граней = $1$ (основание) + $n$ (боковые грани) = $n + 1$.
Применим эту общую формулу для каждого из указанных случаев.

а) треугольная пирамида

В основании треугольной пирамиды находится треугольник. У треугольника 3 стороны, поэтому $n=3$.
Количество граней = $3 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

б) четырехугольная пирамида

В основании четырехугольной пирамиды находится четырехугольник. У четырехугольника 4 стороны, поэтому $n=4$.
Количество граней = $4 + 1 = 5$.
Ответ: 5.

в) пятиугольная пирамида

В основании пятиугольной пирамиды находится пятиугольник. У пятиугольника 5 сторон, поэтому $n=5$.
Количество граней = $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6.

г) шестиугольная пирамида

В основании шестиугольной пирамиды находится шестиугольник. У шестиугольника 6 сторон, поэтому $n=6$.
Количество граней = $6 + 1 = 7$.
Ответ: 7.

д) n-угольная пирамида

В основании $n$-угольной пирамиды находится $n$-угольник, у которого по определению $n$ сторон.
Количество граней = $n + 1$.
Ответ: $n + 1$.

22. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Решение

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, является многоугольником, а все остальные грани — треугольники с общей вершиной.

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). По определению многоугольника, число его сторон $n$ должно быть целым числом, не меньшим 3, то есть $n \ge 3$.

Общее количество граней ($Г$) пирамиды состоит из одной грани основания и $n$ боковых граней, по одной для каждой стороны основания. Таким образом, общее число граней вычисляется по формуле:

$Г = n + 1$

Чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное число граней $Г$, необходимо найти соответствующее число сторон основания по формуле $n = Г - 1$ и проверить, выполняется ли для него условие $n \ge 3$. Любое целое число граней, большее или равное 4, возможно.

а) 9;

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 9$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 9 - 1 = 8$. Так как $n=8$ — целое число и $8 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с восьмиугольником в основании. Ответ: Да, может.

б) 10;

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 10$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 10 - 1 = 9$. Так как $n=9$ — целое число и $9 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с девятиугольником в основании. Ответ: Да, может.

в) 12;

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 12$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 12 - 1 = 11$. Так как $n=11$ — целое число и $11 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с одиннадцатиугольником в основании. Ответ: Да, может.

г) 15 граней?

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 15$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 15 - 1 = 14$. Так как $n=14$ — целое число и $14 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с четырнадцатиугольником в основании. Ответ: Да, может.