Номер 16, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей:

а) 12;

б) 15;

в) 18 ребер?

Дано:
Рассматривается призма, у которой:
а) общее количество ребер равно 12;
б) общее количество ребер равно 15;
в) общее количество ребер равно 18.

Найти:
Какой многоугольник лежит в основании призмы для каждого из случаев.

Решение:
Любая призма имеет два одинаковых основания в форме многоугольника и боковые грани. Пусть в основании призмы лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами и $n$ вершинами).
Тогда количество ребер у такой призмы складывается из:
- $n$ ребер в нижнем основании;
- $n$ ребер в верхнем основании;
- $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины оснований.
Таким образом, общее количество ребер $E$ в n-угольной призме вычисляется по формуле:
$E = n + n + n = 3n$
Зная общее количество ребер $E$, мы можем найти количество сторон $n$ многоугольника в основании, разделив $E$ на 3:
$n = \frac{E}{3}$
Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано общее количество ребер $E = 12$.
Найдем количество сторон $n$ многоугольника в основании:
$n = \frac{12}{3} = 4$
Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником.
Ответ: в основании призмы лежит четырехугольник.

б) Дано общее количество ребер $E = 15$.
Найдем количество сторон $n$ многоугольника в основании:
$n = \frac{15}{3} = 5$
Многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольником.
Ответ: в основании призмы лежит пятиугольник.

в) Дано общее количество ребер $E = 18$.
Найдем количество сторон $n$ многоугольника в основании:
$n = \frac{18}{3} = 6$
Многоугольник с шестью сторонами называется шестиугольником.
Ответ: в основании призмы лежит шестиугольник.