Номер 18, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 вершин?

Решение

Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину (которая называется вершиной пирамиды).

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У этого n-угольника есть $n$ вершин. Кроме этих вершин, у пирамиды есть еще одна вершина — вершина самой пирамиды, не лежащая в плоскости основания.

Таким образом, общее число вершин $V$ у пирамиды, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле: $V = n + 1$

где $n$ — это число вершин (и сторон) многоугольника в основании. Так как любой многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, то $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3$). Следовательно, общее число вершин пирамиды $V$ должно быть целым числом, не меньшим чем $3 + 1 = 4$.

Чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное число вершин $V$, необходимо проверить, можно ли для этого $V$ найти соответствующее целое число $n \ge 3$ по формуле $n = V - 1$.

а) 9

Проверим, может ли пирамида иметь 9 вершин. Пусть общее число вершин $V = 9$. Тогда число вершин в многоугольнике основания будет $n = V - 1 = 9 - 1 = 8$. Так как $n = 8$ является целым числом и $8 \ge 3$, то пирамида с 8-угольным основанием (восьмиугольная пирамида) существует и имеет $8 + 1 = 9$ вершин.
Ответ: Да, может.

б) 10

Проверим, может ли пирамида иметь 10 вершин. Пусть $V = 10$. Тогда число вершин в основании $n = V - 1 = 10 - 1 = 9$. Так как $n = 9$ является целым числом и $9 \ge 3$, то пирамида с 9-угольным основанием (девятиугольная пирамида) существует и имеет $9 + 1 = 10$ вершин.
Ответ: Да, может.

в) 12

Проверим, может ли пирамида иметь 12 вершин. Пусть $V = 12$. Тогда число вершин в основании $n = V - 1 = 12 - 1 = 11$. Так как $n = 11$ является целым числом и $11 \ge 3$, то пирамида с 11-угольным основанием (одиннадцатиугольная пирамида) существует и имеет $11 + 1 = 12$ вершин.
Ответ: Да, может.

г) 15

Проверим, может ли пирамида иметь 15 вершин. Пусть $V = 15$. Тогда число вершин в основании $n = V - 1 = 15 - 1 = 14$. Так как $n = 14$ является целым числом и $14 \ge 3$, то пирамида с 14-угольным основанием (четырнадцатиугольная пирамида) существует и имеет $14 + 1 = 15$ вершин.
Ответ: Да, может.