Номер 24, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Сколько пар параллельных ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная призма;

г) шестиугольная призма?

Решение

Для нахождения общего количества пар параллельных ребер в каждой из заданных геометрических фигур мы будем использовать комбинаторный подход. Сначала мы определим все группы ребер, параллельных друг другу. Затем для каждой группы, содержащей $n$ ребер, мы вычислим количество пар, которое можно составить. Это количество равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Общее количество пар будет суммой пар из всех таких непересекающихся групп.

а) куб

Куб имеет 12 ребер. Эти ребра можно разделить на 3 группы взаимно параллельных ребер, соответствующих трем измерениям (длина, ширина, высота). В каждой такой группе находится по 4 ребра.

Количество пар параллельных ребер в одной такой группе из 4 ребер составляет:

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ пар.

Поскольку у куба 3 такие группы параллельных ребер, общее количество пар равно:

$3 \cdot 6 = 18$ пар.

Ответ: 18.

б) параллелепипед

Параллелепипед, как и куб, имеет 12 ребер. Эти ребра также делятся на 3 группы по 4 взаимно параллельных ребра в каждой.

Таким образом, рассуждения и вычисления полностью аналогичны случаю с кубом.

Количество пар в одной группе из 4 ребер: $C_4^2 = 6$ пар.

Общее количество пар: $3 \cdot 6 = 18$ пар.

Ответ: 18.

в) треугольная призма

Треугольная призма имеет 9 ребер: 3 боковых ребра, 3 ребра в верхнем основании и 3 ребра в нижнем основании. Разобьем их на группы параллельных ребер:

1. Группа боковых ребер. Все 3 боковых ребра параллельны друг другу. Количество пар в этой группе:

$C_3^2 = \frac{3 \cdot (3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ пары.

2. Группы ребер оснований. Каждое ребро верхнего основания параллельно соответствующему ребру нижнего основания. Это образует 3 пары параллельных ребер. В основаниях (треугольниках) нет параллельных сторон.

Сложив количество пар из обеих категорий, получаем общее количество:

$3 + 3 = 6$ пар.

Ответ: 6.

г) шестиугольная призма

Будем считать, что призма прямая, а ее основания — правильные шестиугольники. Такая призма имеет 18 ребер: 6 боковых, 6 в верхнем основании и 6 в нижнем.

1. Группа боковых ребер. Все 6 боковых ребер параллельны друг другу. Количество пар в этой группе:

$C_6^2 = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ пар.

2. Группы ребер оснований. В правильном шестиугольнике есть 3 пары параллельных сторон. Каждая сторона верхнего основания параллельна соответствующей стороне нижнего основания. Таким образом, ребра оснований можно разбить на 3 группы, в каждой из которых по 4 параллельных ребра (например, два противолежащих ребра верхнего основания и два соответствующих им ребра нижнего основания).

Количество пар в каждой такой группе из 4 ребер:

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = 6$ пар.

Так как таких групп 3, общее число пар от ребер оснований составляет:

$3 \cdot 6 = 18$ пар.

Общее число пар параллельных ребер в шестиугольной призме равно сумме пар от боковых ребер и ребер оснований:

$15 + 18 = 33$ пары.

Ответ: 33.