Номер 22, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Может ли пирамида иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Решение

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, является многоугольником, а все остальные грани — треугольники с общей вершиной.

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). По определению многоугольника, число его сторон $n$ должно быть целым числом, не меньшим 3, то есть $n \ge 3$.

Общее количество граней ($Г$) пирамиды состоит из одной грани основания и $n$ боковых граней, по одной для каждой стороны основания. Таким образом, общее число граней вычисляется по формуле:

$Г = n + 1$

Чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное число граней $Г$, необходимо найти соответствующее число сторон основания по формуле $n = Г - 1$ и проверить, выполняется ли для него условие $n \ge 3$. Любое целое число граней, большее или равное 4, возможно.

а) 9;

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 9$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 9 - 1 = 8$. Так как $n=8$ — целое число и $8 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с восьмиугольником в основании. Ответ: Да, может.

б) 10;

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 10$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 10 - 1 = 9$. Так как $n=9$ — целое число и $9 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с девятиугольником в основании. Ответ: Да, может.

в) 12;

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 12$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 12 - 1 = 11$. Так как $n=11$ — целое число и $11 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с одиннадцатиугольником в основании. Ответ: Да, может.

г) 15 граней?

Проверим, может ли пирамида иметь $Г = 15$ граней. Число сторон многоугольника в основании будет равно $n = 15 - 1 = 14$. Так как $n=14$ — целое число и $14 \ge 3$, то такая пирамида существует. Это пирамида с четырнадцатиугольником в основании. Ответ: Да, может.