Номер 27, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Сколько пар скрещивающихся ребер имеет:

а) куб;

б) параллелепипед;

в) треугольная пирамида;

г) шестиугольная пирамида?

Скрещивающиеся рёбра — это рёбра, которые лежат на скрещивающихся прямых, то есть не пересекаются и не являются параллельными. Для нахождения общего количества пар скрещивающихся рёбер в многограннике, мы будем находить их для каждой фигуры.

а) куб

Куб имеет 12 рёбер. Рассмотрим одно произвольное ребро. С этим ребром:
- пересекаются 4 других ребра (по два ребра в каждой из двух вершин, принадлежащих исходному ребру);
- параллельны ему 3 других ребра.
Следовательно, количество рёбер, скрещивающихся с выбранным ребром, равно: $12 - 1$ (само ребро) $- 4$ (пересекающихся) $- 3$ (параллельных) $= 4$ ребра.
Поскольку в кубе 12 рёбер, и для каждого из них есть 4 скрещивающихся, общее число пар можно найти, умножив количество рёбер на количество скрещивающихся с ним рёбер и разделив на 2 (чтобы не учитывать каждую пару дважды):
$N = \frac{12 \times 4}{2} = 24$.
Ответ: 24.

б) параллелепипед

Параллелепипед, как и куб, является многогранником с 12 рёбрами, 8 вершинами и 6 гранями. Структура связей между рёбрами (кто с кем пересекается, кто кому параллелен) у него точно такая же, как у куба. Это не зависит от углов между рёбрами или от формы граней (которые являются параллелограммами).
Поэтому рассуждения и вычисления полностью аналогичны случаю с кубом.
Для каждого из 12 рёбер существует 4 скрещивающихся с ним ребра.
Общее количество пар скрещивающихся рёбер: $N = \frac{12 \times 4}{2} = 24$.
Ответ: 24.

в) треугольная пирамида

Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 6 рёбер и 4 вершины.
Рассмотрим любое ребро. С ним пересекаются все рёбра, выходящие из его вершин (кроме него самого). Таких рёбер 4 (по два из каждой вершины).
В общем случае в треугольной пирамиде нет параллельных рёбер.
Количество рёбер, скрещивающихся с выбранным, равно: $6 - 1$ (само ребро) $- 4$ (пересекающихся) $= 1$ ребро.
Таким образом, для каждого из 6 рёбер существует ровно одно скрещивающееся с ним ребро. Все 6 рёбер разбиваются на 3 пары скрещивающихся. Например, если вершины пирамиды A, B, C, D, то пары скрещивающихся рёбер это (AB, CD), (AC, BD) и (AD, BC).
Общее количество пар: $N = \frac{6 \times 1}{2} = 3$.
Ответ: 3.

г) шестиугольная пирамида

Шестиугольная пирамида имеет 12 рёбер: 6 рёбер в основании и 6 боковых рёбер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды. Будем считать, что в основании лежит правильный шестиугольник, как это обычно подразумевается в таких задачах.
Подсчитаем количество пар скрещивающихся рёбер, разбив их на три группы.
1. Оба ребра лежат в основании.
Основание — правильный шестиугольник. Общее число пар рёбер в нём $C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$. Из них 6 пар — это смежные (пересекающиеся) рёбра. В правильном шестиугольнике есть 3 пары параллельных противолежащих рёбер. Таким образом, количество пар скрещивающихся рёбер в основании: $15 - 6$ (пересекающихся) $- 3$ (параллельных) $= 6$.
2. Оба ребра — боковые.
Все 6 боковых рёбер пересекаются в одной точке — вершине пирамиды. Следовательно, среди них нет скрещивающихся пар. Количество таких пар равно 0.
3. Одно ребро в основании, другое — боковое.
Возьмём любое из 6 рёбер основания. С ним пересекаются два боковых ребра (те, что выходят из его вершин). Остальные $6 - 2 = 4$ боковых ребра будут скрещиваться с выбранным ребром основания, так как они не лежат с ним в одной плоскости и не параллельны ему.
Поскольку рёбер основания 6, а для каждого из них есть 4 скрещивающихся боковых ребра, то общее число таких пар равно $6 \times 4 = 24$.
Суммируя все случаи, получаем общее количество пар скрещивающихся рёбер:
$N = 6$ (основание-основание) $+ 0$ (боковое-боковое) $+ 24$ (основание-боковое) $= 30$.
Ответ: 30.