Номер 32, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Докажите, что для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ прямые:

a) $AA_1$ и $BC$;

б) $AC_1$ и $BD$;

в) $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются.

а) Доказательство для прямых $AA_1$ и $BC$

Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Прямая $BC$ является стороной основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и, следовательно, целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.
Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, поэтому она перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Прямая $AA_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке – точке $A$.
Точка $A$ не принадлежит прямой $BC$, так как $A, B, C$ – последовательные вершины шестиугольника и не лежат на одной прямой.
Таким образом, одна прямая ($BC$) лежит в плоскости $(ABC)$, а другая прямая ($AA_1$) пересекает эту плоскость в точке ($A$), не принадлежащей первой прямой. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых, прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются.
Ответ: Доказано.

б) Доказательство для прямых $AC_1$ и $BD$

Воспользуемся тем же признаком скрещивающихся прямых.
Прямая $BD$ является диагональю основания призмы и целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$.
Прямая $AC_1$ является диагональю призмы, соединяющей вершину $A$ нижнего основания и вершину $C_1$ верхнего основания. Так как точка $A$ принадлежит плоскости $(ABC)$, а точка $C_1$ не принадлежит этой плоскости, прямая $AC_1$ пересекает плоскость $(ABC)$ в единственной точке – точке $A$.
Точка пересечения $A$ не лежит на прямой $BD$, так как $A, B, D$ – это вершины правильного шестиугольника, которые не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой).
Итак, прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой $BD$. Следовательно, прямые $AC_1$ и $BD$ скрещиваются.
Ответ: Доказано.

в) Доказательство для прямых $AB$ и $B_1C_1$

Чтобы доказать, что прямые $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются, нужно показать, что они не пересекаются и не параллельны.
Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$.
В призме плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$. Так как прямые лежат в разных параллельных плоскостях, они не могут пересекаться.
Теперь докажем, что прямые не параллельны. В правильной шестиугольной призме боковые грани являются прямоугольниками, а основания – равными правильными шестиугольниками. Следовательно, сторона $AB$ нижнего основания параллельна соответствующей стороне $A_1B_1$ верхнего основания ($AB \parallel A_1B_1$).
В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ прямые $A_1B_1$ и $B_1C_1$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника, а значит, они пересекаются в точке $B_1$ и не параллельны.
Предположим, что $AB \parallel B_1C_1$. Так как $AB \parallel A_1B_1$, то по свойству транзитивности параллельных прямых мы бы получили, что $A_1B_1 \parallel B_1C_1$. Это противоречит тому, что $A_1B_1$ и $B_1C_1$ – смежные стороны шестиугольника. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $AB$ и $B_1C_1$ не параллельны.
Поскольку прямые $AB$ и $B_1C_1$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано.