Номер 25, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Докажите, что для параллелепипеда $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$ параллельны прямые:

a) $\text{AB}$ и $\text{D}_1\text{C}_1$;

б) $\text{AD}_1$ и $\text{BC}_1$.

а) Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны прямые $AB$ и $D_1C_1$

Решение

Рассмотрим грани параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению параллелепипеда, его основание $ABCD$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$ ($AB \parallel DC$). Боковая грань $DCC_1D_1$ также является параллелограммом. В ней противоположные стороны $DC$ и $D_1C_1$ параллельны ($DC \parallel D_1C_1$). Таким образом, мы имеем две параллельности: $AB \parallel DC$ и $DC \parallel D_1C_1$. Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей (свойство транзитивности параллельности), прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны между собой. То есть, $AB \parallel D_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны.

б) Докажите, что для параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны прямые $AD_1$ и $BC_1$

Решение

Рассмотрим в пространстве четырехугольник $AD_1C_1B$. Чтобы доказать, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны, мы докажем, что этот четырехугольник является параллелограммом, а отрезки $AD_1$ и $BC_1$ — его противоположными сторонами. По определению параллелепипеда, его боковая грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом. Следовательно, $AD \parallel A_1D_1$ и $AD = A_1D_1$. Также, основание $ABCD$ является параллелограммом, поэтому $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. Из этих соотношений следует, что $A_1D_1 \parallel BC$ и $A_1D_1 = BC$. Рассмотрим четырехугольник $A_1D_1CB$. Так как у него противоположные стороны $A_1D_1$ и $BC$ равны и параллельны, то по признаку параллелограмма $A_1D_1CB$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, следовательно, $A_1B \parallel D_1C$. Теперь рассмотрим четырехугольник $AD_1C_1B$. Докажем, что он является параллелограммом, используя другую пару сторон: $AB$ и $D_1C_1$. Из пункта (а) мы знаем, что $AB \parallel D_1C_1$. Найдем длины этих сторон. Грань $ABCD$ - параллелограмм, значит $AB=DC$. Грань $DCC_1D_1$ - параллелограмм, значит $DC=D_1C_1$. Следовательно, $AB = D_1C_1$. В четырехугольнике $AD_1C_1B$ противоположные стороны $AB$ и $D_1C_1$ равны и параллельны. Значит, по признаку параллелограмма, $AD_1C_1B$ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Другая пара противоположных сторон в этом четырехугольнике — это $AD_1$ и $BC_1$. Следовательно, $AD_1 \parallel BC_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AD_1$ и $BC_1$ параллельны.