Номер 15, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Может ли призма иметь:

а) 9;

б) 10;

в) 12;

г) 15 граней?

Решение

Любая призма состоит из двух оснований и боковых граней. Если в основании призмы лежит $n$-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), то такую призму называют $n$-угольной. У $n$-угольной призмы есть 2 основания (верхнее и нижнее) и $n$ боковых граней, каждая из которых соединяет соответствующие стороны оснований.

Таким образом, общее количество граней $F$ у $n$-угольной призмы вычисляется по формуле: $F = n + 2$

Поскольку многоугольник в основании должен иметь как минимум 3 стороны, то $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$. Следовательно, общее число граней призмы $F$ должно быть целым числом, и $F \ge 3 + 2 = 5$.

Чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество граней $F$, нужно проверить, является ли число $n = F - 2$ целым числом, большим или равным 3.

а) 9 граней

Проверим, может ли призма иметь 9 граней. Пусть общее число граней $F = 9$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 9 - 2 = 7$. Число $n=7$ является целым и $7 \ge 3$. Следовательно, призма с 9 гранями существует. Это семиугольная призма.

Ответ: Да, может.

б) 10 граней

Проверим, может ли призма иметь 10 граней. Пусть $F = 10$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 10 - 2 = 8$. Число $n=8$ является целым и $8 \ge 3$. Следовательно, призма с 10 гранями существует. Это восьмиугольная призма.

Ответ: Да, может.

в) 12 граней

Проверим, может ли призма иметь 12 граней. Пусть $F = 12$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 12 - 2 = 10$. Число $n=10$ является целым и $10 \ge 3$. Следовательно, призма с 12 гранями существует. Это десятиугольная призма.

Ответ: Да, может.

г) 15 граней

Проверим, может ли призма иметь 15 граней. Пусть $F = 15$. Найдем количество сторон многоугольника в основании: $n = F - 2 = 15 - 2 = 13$. Число $n=13$ является целым и $13 \ge 3$. Следовательно, призма с 15 гранями существует. Это тринадцатиугольная призма.

Ответ: Да, может.