Номер 11, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Может ли призма иметь:

а) 9 вершин?

б) 10 вершин?

в) 12 вершин?

г) 15 вершин?

Решение

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У этого n-угольника $n$ вершин. Так как у призмы два основания (верхнее и нижнее), то общее число вершин призмы $V$ равно удвоенному числу вершин одного основания: $V = 2n$.

Из этой формулы следует, что число вершин любой призмы всегда является четным числом. Кроме того, поскольку многоугольник в основании должен иметь как минимум 3 вершины (треугольник), то $n \ge 3$, а значит общее число вершин $V \ge 2 \times 3 = 6$.

Проверим каждый из предложенных вариантов, может ли число вершин $V$ быть равным заданным значениям.

а) 9

Число 9 является нечетным. Так как число вершин призмы $V$ всегда должно быть четным ($V = 2n$), призма не может иметь 9 вершин. Если бы это было возможно, то из уравнения $2n = 9$ мы бы получили $n = 4.5$. Однако число сторон основания $n$ должно быть целым числом ($n \ge 3$).

Ответ: нет, не может.

б) 10

Число 10 является четным. Проверим, существует ли призма с таким количеством вершин. Пусть $V = 10$. Тогда из формулы $V = 2n$ получаем $2n = 10$, откуда $n = 5$. Так как $n=5$ — это целое число и $5 \ge 3$, то в основании призмы может лежать пятиугольник. Такая призма (пятиугольная) существует.

Ответ: да, может.

в) 12

Число 12 является четным. Пусть $V = 12$. Тогда $2n = 12$, откуда $n = 6$. Так как $n=6$ — это целое число и $6 \ge 3$, то в основании призмы может лежать шестиугольник. Такая призма (шестиугольная) существует.

Ответ: да, может.

г) 15

Число 15 является нечетным. Следовательно, призма не может иметь 15 вершин, так как общее число вершин всегда четно. Если бы это было возможно, то $2n = 15$, откуда $n = 7.5$, что не является целым числом.

Ответ: нет, не может.