Номер 12, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Сколько ребер имеет:

а) треугольная;

б) четырехугольная;

в) пятиугольная;

г) шестиугольная;

д) $n$-угольная призма?

Решение

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами. Чтобы найти общее количество рёбер призмы, нужно сложить количество рёбер в двух её основаниях и количество боковых рёбер.

Пусть в основании призмы лежит n-угольник, то есть многоугольник, у которого $n$ сторон.

Тогда у верхнего основания будет $n$ рёбер. У нижнего основания — тоже $n$ рёбер. Боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований, их количество также равно $n$.

Таким образом, общее количество рёбер ($K$) в n-угольной призме вычисляется по формуле:

$K = (\text{рёбра верхнего основания}) + (\text{рёбра нижнего основания}) + (\text{боковые рёбра})$

$K = n + n + n = 3n$

Теперь, используя эту формулу, найдём количество рёбер для каждого указанного типа призмы.

а) треугольная

В основании треугольной призмы лежит треугольник, у которого 3 стороны ($n=3$).

Число рёбер: $K = 3 \times 3 = 9$.

Ответ: 9.

б) четырехугольная

В основании четырехугольной призмы лежит четырехугольник, у которого 4 стороны ($n=4$).

Число рёбер: $K = 3 \times 4 = 12$.

Ответ: 12.

в) пятиугольная

В основании пятиугольной призмы лежит пятиугольник, у которого 5 сторон ($n=5$).

Число рёбер: $K = 3 \times 5 = 15$.

Ответ: 15.

г) шестиугольная

В основании шестиугольной призмы лежит шестиугольник, у которого 6 сторон ($n=6$).

Число рёбер: $K = 3 \times 6 = 18$.

Ответ: 18.

д) n-угольная

Для призмы, в основании которой лежит n-угольник (многоугольник с $n$ сторонами), общее число рёбер определяется по выведенной общей формуле.

Число рёбер: $K = 3n$.

Ответ: $3n$.