Номер 6, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Докажите, что через прямую и не принадлежащую ей точку
проходит единственная плоскость.

Для доказательства данного утверждения необходимо последовательно доказать два факта: что такая плоскость существует, и что она единственна. В основе доказательства лежат аксиомы стереометрии.

1. Доказательство существования плоскости.
Пусть нам дана прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на прямой $a$ (записывается как $M \notin a$).
На прямой $a$ мы всегда можем выбрать две различные точки. Назовем их $A$ и $B$.
Теперь у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны), так как по условию точка $M$ не принадлежит прямой $a$, на которой лежат точки $A$ и $B$.
Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Следовательно, через точки $A$, $B$ и $M$ можно провести плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.
Теперь нам нужно убедиться, что вся прямая $a$ лежит в этой плоскости. Согласно следствию из аксиом: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$ и на прямой $a$, то вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
Таким образом, мы доказали существование плоскости $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и точку $M$.

2. Доказательство единственности плоскости.
Теперь докажем, что такая плоскость может быть только одна. Допустим, существует какая-то другая плоскость $\beta$, которая также проходит через прямую $a$ и точку $M$.
Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, это означает, что она содержит все точки этой прямой, включая наши точки $A$ и $B$.
По нашему допущению, плоскость $\beta$ также проходит и через точку $M$.
Получается, что плоскость $\beta$ проходит через те же самые три неколлинеарные точки $A$, $B$ и $M$.
Однако, согласно той же самой аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит только одна плоскость.
Отсюда следует, что плоскость $\beta$ не может быть другой плоскостью, она обязана совпадать с плоскостью $\alpha$. Наше предположение о существовании второй плоскости было неверным.
Следовательно, плоскость, проходящая через прямую $a$ и не принадлежащую ей точку $M$, единственна.

Ответ: Утверждение доказано. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна. Это утверждение является прямым следствием аксиомы о том, что через три любые точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.