Страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является вершина $D$, ребра $DC$, $DA$, $DD_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты всех вершин куба.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, то есть длина его ребра равна 1.
Вершина $D$ совпадает с началом прямоугольной системы координат $O(0, 0, 0)$.
Ребро $DC$ лежит на оси абсцисс (ось $Ox$).
Ребро $DA$ лежит на оси ординат (ось $Oy$).
Ребро $DD_1$ лежит на оси аппликат (ось $Oz$).

Найти:

Координаты всех вершин куба: $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$.

Решение:

Поскольку куб является единичным, длина каждого его ребра равна 1. Определим координаты каждой вершины, исходя из заданного расположения куба в прямоугольной системе координат.

Вершина $D$ по условию находится в начале координат, следовательно, её координаты: $D(0, 0, 0)$.

Вершины $A, C$ и $D_1$ соединены с вершиной $D$ рёбрами, лежащими на осях координат. Так как длина ребра равна 1, их координаты определяются следующим образом:
- Вершина $C$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), следовательно, её координаты $C(1, 0, 0)$.
- Вершина $A$ лежит на оси ординат ($Oy$), следовательно, её координаты $A(0, 1, 0)$.
- Вершина $D_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$), следовательно, её координаты $D_1(0, 0, 1)$.

Остальные вершины находятся как комбинации этих базовых смещений от начала координат.

Вершина $B$ находится в плоскости $xOy$ ($z=0$) и замыкает квадрат основания $ABCD$. Её положение определяется смещением на 1 по оси $Ox$ (как у точки $C$) и на 1 по оси $Oy$ (как у точки $A$). Таким образом, её координаты: $B(1, 1, 0)$.

Вершины $A_1, B_1, C_1$ образуют верхнюю грань куба. Они смещены относительно вершин $A, B, C$ на 1 единицу вдоль оси $Oz$ (то есть на вектор $\vec{DD_1}=(0,0,1)$).
- Координаты $A_1$ получаются смещением точки $A$: $A_1(0, 1, 0+1) = A_1(0, 1, 1)$.
- Координаты $C_1$ получаются смещением точки $C$: $C_1(1, 0, 0+1) = C_1(1, 0, 1)$.
- Координаты $B_1$ получаются смещением точки $B$: $B_1(1, 1, 0+1) = B_1(1, 1, 1)$.

Ответ:

$A(0, 1, 0)$
$B(1, 1, 0)$
$C(1, 0, 0)$
$D(0, 0, 0)$
$A_1(0, 1, 1)$
$B_1(1, 1, 1)$
$C_1(1, 0, 1)$
$D_1(0, 0, 1)$

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, вершина А — начало координат, отрезки $AB$, $AE$, $AA_1$ лежат соответственно на осях абсцисс, ординат, аппликат. Найдите координаты вершин этой призмы.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.

Длина всех ребер: 1 ед.

Вершина $A$ – начало координат $O(0,0,0)$.

Отрезок $AB$ лежит на оси абсцисс ($Ox$).

Отрезок $AE$ лежит на оси ординат ($Oy$).

Отрезок $AA_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$).

Найти:

Координаты всех вершин призмы.

Решение:

В условии задачи содержится противоречие. В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Угол между стороной $AB$ и диагональю $AE$ в таком шестиугольнике составляет $\angle BAE = 120^\circ$. Оси координат $Ox$ (абсцисс) и $Oy$ (ординат) взаимно перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$. Следовательно, отрезки $AB$ и $AE$ не могут одновременно лежать на осях абсцисс и ординат.

Для решения задачи предположим, что условие о расположении отрезка $AE$ на оси ординат является опечаткой, и будем исходить из остальных данных. Разместим призму в декартовой системе координат следующим образом:

1. Вершина $A$ находится в начале координат, т.е. $A(0, 0, 0)$.

2. Ребро $AA_1$ лежит на оси аппликат ($Oz$). Так как длина ребра равна 1, то координаты вершины $A_1$ будут $(0, 0, 1)$.

3. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $z=0$ ($Oxy$).

4. Ребро $AB$ лежит на оси абсцисс ($Ox$). Так как его длина равна 1, то координаты вершины $B$ будут $(1, 0, 0)$.

Найдем координаты остальных вершин основания $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником со стороной 1. Для определенности разместим шестиугольник в полуплоскости, где $y \ge 0$.

Координаты вершин нижнего основания:

• Вершина $A$: $A(0, 0, 0)$ по условию.

• Вершина $B$: $B(1, 0, 0)$ по построению.

• Вершина $C$: Вектор $\vec{BC}$ получается поворотом вектора $\vec{AB}=(1, 0, 0)$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки (так как внутренний угол шестиугольника $120^\circ$, а смежный с ним $60^\circ$). Координаты вектора $\vec{BC}$ равны $(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (1/2, \sqrt{3}/2)$. Координаты точки $C$ находим, прибавив к координатам точки $B$ координаты вектора $\vec{BC}$: $C(1 + 1/2, 0 + \sqrt{3}/2, 0) = C(3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Вершина $D$: В правильном шестиугольнике диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$ и вдвое длиннее ее. Однако проще найти координаты $D$ через центр шестиугольника $O_c$. Центр $O_c$ равностороннего треугольника $O_cAB$ имеет координаты $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Точка $D$ симметрична точке $A$ относительно центра $O_c$. Её координаты: $D = 2 \cdot O_c - A = 2 \cdot (1/2, \sqrt{3}/2, 0) - (0, 0, 0) = D(1, \sqrt{3}, 0)$.

• Вершина $E$: Точка $E$ симметрична точке $B$ относительно центра $O_c$: $E = 2 \cdot O_c - B = (1, \sqrt{3}, 0) - (1, 0, 0) = E(0, \sqrt{3}, 0)$.

• Вершина $F$: Точка $F$ симметрична точке $C$ относительно центра $O_c$: $F = 2 \cdot O_c - C = (1, \sqrt{3}, 0) - (3/2, \sqrt{3}/2, 0) = F(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания ($A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$) получаются путем сдвига соответствующих вершин нижнего основания на вектор $\vec{AA_1}=(0, 0, 1)$.

• Вершина $A_1$: $A_1(0, 0, 1)$.

• Вершина $B_1$: $B_1(1, 0, 1)$.

• Вершина $C_1$: $C_1(3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

• Вершина $D_1$: $D_1(1, \sqrt{3}, 1)$.

• Вершина $E_1$: $E_1(0, \sqrt{3}, 1)$.

• Вершина $F_1$: $F_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Ответ:

Координаты вершин призмы:

Нижнее основание: $A(0; 0; 0)$, $B(1; 0; 0)$, $C(3/2; \sqrt{3}/2; 0)$, $D(1; \sqrt{3}; 0)$, $E(0; \sqrt{3}; 0)$, $F(-1/2; \sqrt{3}/2; 0)$.

Верхнее основание: $A_1(0; 0; 1)$, $B_1(1; 0; 1)$, $C_1(3/2; \sqrt{3}/2; 1)$, $D_1(1; \sqrt{3}; 1)$, $E_1(0; \sqrt{3}; 1)$, $F_1(-1/2; \sqrt{3}/2; 1)$.

60. Найдите расстояние от точки A$(1; 2; 3)$ до координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

Дано:

Точка в трехмерном пространстве $A(1; 2; 3)$.

Найти:

Расстояние от точки A до каждой из координатных прямых: Ox, Oy, Oz.

Решение:

Расстояние от точки до координатной прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Основание этого перпендикуляра является проекцией точки на данную ось. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

а) Ox;

Найдем расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до оси Ox. Проекцией точки A на ось Ox является точка $A_x(1; 0; 0)$.

Искомое расстояние $d_{Ox}$ равно расстоянию между точками A и $A_x$.

$d_{Ox} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13}$.

Также можно использовать общую формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Ox: $d_{Ox} = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.

Для точки A(1; 2; 3) получаем: $d_{Ox} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.

б) Oy;

Найдем расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до оси Oy. Проекцией точки A на ось Oy является точка $A_y(0; 2; 0)$.

Искомое расстояние $d_{Oy}$ равно расстоянию между точками A и $A_y$.

$d_{Oy} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$.

Общая формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Oy: $d_{Oy} = \sqrt{x_0^2 + z_0^2}$.

Для точки A(1; 2; 3) получаем: $d_{Oy} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

в) Oz.

Найдем расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до оси Oz. Проекцией точки A на ось Oz является точка $A_z(0; 0; 3)$.

Искомое расстояние $d_{Oz}$ равно расстоянию между точками A и $A_z$.

$d_{Oz} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.

Общая формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Oz: $d_{Oz} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

Для точки A(1; 2; 3) получаем: $d_{Oz} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

61. Напишите уравнение сферы с центром в точке A$(1; 2; 2)$, проходящей через начало координат.

Дано:

Центр сферы: точка $A(1; 2; 2)$

Точка на сфере: начало координат $O(0; 0; 0)$

Найти:

Уравнение сферы.

Решение:

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр сферы находится в точке $A(1; 2; 2)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 2$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = R^2$

Радиус сферы $R$ — это расстояние от ее центра до любой точки на сфере. Так как сфера проходит через начало координат $O(0; 0; 0)$, радиус равен расстоянию от точки $A$ до точки $O$.

Найдем расстояние $AO$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$R = AO = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 + (z_A - z_O)^2}$

Подставим координаты точек $A(1; 2; 2)$ и $O(0; 0; 0)$:

$R = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, радиус сферы $R = 3$.

Теперь найдем квадрат радиуса для уравнения:

$R^2 = 3^2 = 9$

Подставим значение $R^2$ в уравнение сферы:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9$.

62. Докажите, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$ задает сферу
в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра.

Дано:

Уравнение поверхности: $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$

Найти:

1. Доказать, что уравнение задает сферу.

2. Координаты центра сферы $C(a, b, c)$.

3. Радиус сферы $R$.

Решение:

Каноническое уравнение сферы с центром в точке $C(a, b, c)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, необходимо привести его к указанному каноническому виду. Для этого применим метод выделения полных квадратов для переменных $x$ и $y$.

Исходное уравнение:

$x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 - 4 = 0$

Выделим полный квадрат для группы с $x$. Используем формулу $k^2 - 2kl + l^2 = (k-l)^2$. В нашем случае $k=x$, $2kl = 4x$, откуда $l=2$. Добавим и вычтем $l^2=2^2=4$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для группы с $y$. Используем формулу $k^2 + 2kl + l^2 = (k+l)^2$. В нашем случае $k=y$, $2kl = 2y$, откуда $l=1$. Добавим и вычтем $l^2=1^2=1$:

$(y^2 + 2y + 1) - 1 = (y+1)^2 - 1$

Для переменной $z$ выражение $z^2$ уже является полным квадратом, его можно записать как $(z-0)^2$.

Подставим полученные выражения обратно в сгруппированное уравнение:

$((x-2)^2 - 4) + ((y+1)^2 - 1) + (z-0)^2 - 4 = 0$

Теперь раскроем скобки и перенесем все числовые слагаемые (свободные члены) в правую часть уравнения:

$(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 - 4 - 1 - 4 = 0$

$(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 - 9 = 0$

$(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 9$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому уравнению сферы. Правая часть уравнения $9$ положительна, что означает, что это действительная сфера. Это доказывает, что исходное уравнение задает сферу в пространстве.

Сравнивая полученное уравнение $(x-2)^2 + (y-(-1))^2 + (z-0)^2 = 3^2$ с каноническим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, находим координаты центра и радиус.

Координаты центра $(a, b, c)$ равны $(2, -1, 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 9$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Уравнение задает сферу, так как его можно привести к каноническому виду $(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 9$. Радиус сферы $R = 3$, координаты центра $C(2; -1; 0)$.

63. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a_1}(1; 2; 3) $ и $ \vec{a_2}(3; -1; 2) $.

Дано:

Вектор $\vec{a_1}$ с координатами $(1; 2; 3)$.

Вектор $\vec{a_2}$ с координатами $(3; -1; 2)$.

Найти:

Скалярное произведение векторов $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}$.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами в трехмерном пространстве, $\vec{a}=(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}=(x_2; y_2; z_2)$, вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2$

В нашем случае координаты векторов:

$\vec{a_1} = (1; 2; 3)$

$\vec{a_2} = (3; -1; 2)$

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot (-1)) + (3 \cdot 2)$

Теперь выполним арифметические действия:

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 3 - 2 + 6$

$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 7$

Таким образом, скалярное произведение данных векторов равно 7.

Ответ: 7.

64. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами $(1; 0; 0)$, $(0; 2; 0)$, $(0; 0; 3)$.

Дано:

Три точки, через которые проходит плоскость:

$M_1(1; 0; 0)$

$M_2(0; 2; 0)$

$M_3(0; 0; 3)$

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, можно воспользоваться условием компланарности (принадлежности одной плоскости) векторов. Возьмем произвольную точку $M(x, y, z)$, принадлежащую плоскости, и составим три вектора: $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$. Эти векторы должны лежать в одной плоскости, а значит, их смешанное произведение равно нулю.

Найдем координаты векторов:

$\vec{M_1M} = (x - x_1, y - y_1, z - z_1) = (x - 1, y - 0, z - 0) = (x - 1, y, z)$

$\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$

$\vec{M_1M_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$

Условие компланарности векторов выражается через равенство нулю определителя, составленного из их координат:

$\begin{vmatrix}x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1\end{vmatrix}= 0$

Подставим координаты наших векторов в определитель:

$\begin{vmatrix}x - 1 & y & z \\-1 & 2 & 0 \\-1 & 0 & 3\end{vmatrix}= 0$

Раскроем определитель по первой строке:

$(x - 1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$(x - 1) \cdot (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - y \cdot ((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + z \cdot ((-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)) = 0$

$(x - 1) \cdot 6 - y \cdot (-3) + z \cdot 2 = 0$

$6x - 6 + 3y + 2z = 0$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + Cz + D = 0$:

$6x + 3y + 2z - 6 = 0$

Дополнительное замечание: Поскольку данные точки являются точками пересечения плоскости с осями координат, можно было использовать уравнение плоскости "в отрезках": $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a=1$, $b=2$, $c=3$.

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

Умножив обе части на 6, получим тот же результат: $6x + 3y + 2z = 6$ или $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

Ответ: $6x + 3y + 2z - 6 = 0$.