Номер 60, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

60. Найдите расстояние от точки A$(1; 2; 3)$ до координатной прямой:

а) $Ox$;

б) $Oy$;

в) $Oz$.

Дано:

Точка в трехмерном пространстве $A(1; 2; 3)$.

Найти:

Расстояние от точки A до каждой из координатных прямых: Ox, Oy, Oz.

Решение:

Расстояние от точки до координатной прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Основание этого перпендикуляра является проекцией точки на данную ось. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

а) Ox;

Найдем расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до оси Ox. Проекцией точки A на ось Ox является точка $A_x(1; 0; 0)$.

Искомое расстояние $d_{Ox}$ равно расстоянию между точками A и $A_x$.

$d_{Ox} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13}$.

Также можно использовать общую формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Ox: $d_{Ox} = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.

Для точки A(1; 2; 3) получаем: $d_{Ox} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.

б) Oy;

Найдем расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до оси Oy. Проекцией точки A на ось Oy является точка $A_y(0; 2; 0)$.

Искомое расстояние $d_{Oy}$ равно расстоянию между точками A и $A_y$.

$d_{Oy} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$.

Общая формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Oy: $d_{Oy} = \sqrt{x_0^2 + z_0^2}$.

Для точки A(1; 2; 3) получаем: $d_{Oy} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{10}$.

в) Oz.

Найдем расстояние от точки $A(1; 2; 3)$ до оси Oz. Проекцией точки A на ось Oz является точка $A_z(0; 0; 3)$.

Искомое расстояние $d_{Oz}$ равно расстоянию между точками A и $A_z$.

$d_{Oz} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}$.

Общая формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до оси Oz: $d_{Oz} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

Для точки A(1; 2; 3) получаем: $d_{Oz} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.