Задания, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что высота прямой призмы равна боковому ребру этой призмы.

Решение

Для доказательства этого утверждения обратимся к основным определениям из стереометрии.

Прямая призма — это такая призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям ее оснований. Сами основания представляют собой равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Высота призмы (обозначим ее $h$) — это расстояние между плоскостями ее оснований. Это расстояние измеряется по длине перпендикуляра, проведенного из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Рассмотрим произвольную прямую призму. Пусть ее основания лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Возьмем любое боковое ребро этой призмы. Пусть это будет отрезок, соединяющий вершину $A$ на основании в плоскости $\alpha$ и соответствующую ей вершину $A'$ на основании в плоскости $\beta$. Обозначим длину этого бокового ребра как $l$.

Согласно определению прямой призмы, боковое ребро $AA'$ перпендикулярно плоскости основания, на котором лежит точка $A'$. То есть, ребро $AA'$ перпендикулярно плоскости $\beta$.

Поскольку отрезок $AA'$ соединяет точку $A$ (из плоскости $\alpha$) и точку $A'$ (из плоскости $\beta$) и при этом является перпендикуляром к плоскости $\beta$, то его длина $l$ по определению является расстоянием между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Как было сказано выше, расстояние между плоскостями оснований — это и есть высота призмы $h$.

Таким образом, мы приходим к равенству: длина бокового ребра $l$ равна высоте призмы $h$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. По определению, у прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Высота призмы — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Так как боковое ребро соединяет точки на плоскостях оснований и является перпендикуляром к ним, его длина по определению равна высоте призмы.