Задания, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите самостоятельно, что пересечение (общая часть) двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой.

Вспомним определение выпуклой фигуры. Фигура (или множество точек) называется выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры отрезок, соединяющий эти точки, полностью ей принадлежит.

Пусть даны две выпуклые фигуры, $F_1$ и $F_2$. Обозначим их пересечение (общую часть) как фигуру $F$. Таким образом, $F = F_1 \cap F_2$. Нам необходимо доказать, что фигура $F$ также является выпуклой.

Для доказательства выберем две произвольные точки $A$ и $B$, которые принадлежат фигуре $F$.

Согласно определению пересечения, если точка принадлежит пересечению, то она принадлежит каждой из фигур, образующих это пересечение. Следовательно:
- раз точка $A$ принадлежит $F$ ($A \in F$), то она принадлежит и $F_1$ ($A \in F_1$), и $F_2$ ($A \in F_2$).
- раз точка $B$ принадлежит $F$ ($B \in F$), то она принадлежит и $F_1$ ($B \in F_1$), и $F_2$ ($B \in F_2$).

Теперь воспользуемся свойством выпуклости исходных фигур $F_1$ и $F_2$.

Поскольку $F_1$ — выпуклая фигура, и точки $A$ и $B$ принадлежат ей, то по определению выпуклости весь отрезок $[AB]$ также принадлежит фигуре $F_1$.

Аналогично, поскольку $F_2$ — выпуклая фигура, и точки $A$ и $B$ принадлежат ей, то весь отрезок $[AB]$ также принадлежит фигуре $F_2$.

Итак, мы установили, что отрезок $[AB]$ полностью содержится и в фигуре $F_1$, и в фигуре $F_2$. Это означает, что отрезок $[AB]$ содержится в их общей части, то есть в пересечении $F$.

Таким образом, мы показали, что для любых двух точек $A$ и $B$ из фигуры $F$ соединяющий их отрезок $[AB]$ целиком принадлежит фигуре $F$. Это в точности соответствует определению выпуклой фигуры.

Следовательно, пересечение двух (и, по аналогии, любого количества) выпуклых фигур является выпуклой фигурой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Пересечение двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой. Это следует из определения выпуклой фигуры: если взять любые две точки, принадлежащие пересечению, то они принадлежат и каждой из исходных фигур. Так как исходные фигуры выпуклы, отрезок, соединяющий эти точки, принадлежит каждой из них. Следовательно, этот отрезок принадлежит и их пересечению, что доказывает выпуклость пересечения.