Номер 62, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

62. Докажите, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$ задает сферу
в пространстве. Найдите ее радиус и координаты центра.

Дано:

Уравнение поверхности: $x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$

Найти:

1. Доказать, что уравнение задает сферу.

2. Координаты центра сферы $C(a, b, c)$.

3. Радиус сферы $R$.

Решение:

Каноническое уравнение сферы с центром в точке $C(a, b, c)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, необходимо привести его к указанному каноническому виду. Для этого применим метод выделения полных квадратов для переменных $x$ и $y$.

Исходное уравнение:

$x^2 - 4x + y^2 + 2y + z^2 - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + z^2 - 4 = 0$

Выделим полный квадрат для группы с $x$. Используем формулу $k^2 - 2kl + l^2 = (k-l)^2$. В нашем случае $k=x$, $2kl = 4x$, откуда $l=2$. Добавим и вычтем $l^2=2^2=4$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$

Выделим полный квадрат для группы с $y$. Используем формулу $k^2 + 2kl + l^2 = (k+l)^2$. В нашем случае $k=y$, $2kl = 2y$, откуда $l=1$. Добавим и вычтем $l^2=1^2=1$:

$(y^2 + 2y + 1) - 1 = (y+1)^2 - 1$

Для переменной $z$ выражение $z^2$ уже является полным квадратом, его можно записать как $(z-0)^2$.

Подставим полученные выражения обратно в сгруппированное уравнение:

$((x-2)^2 - 4) + ((y+1)^2 - 1) + (z-0)^2 - 4 = 0$

Теперь раскроем скобки и перенесем все числовые слагаемые (свободные члены) в правую часть уравнения:

$(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 - 4 - 1 - 4 = 0$

$(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 - 9 = 0$

$(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 9$

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому уравнению сферы. Правая часть уравнения $9$ положительна, что означает, что это действительная сфера. Это доказывает, что исходное уравнение задает сферу в пространстве.

Сравнивая полученное уравнение $(x-2)^2 + (y-(-1))^2 + (z-0)^2 = 3^2$ с каноническим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, находим координаты центра и радиус.

Координаты центра $(a, b, c)$ равны $(2, -1, 0)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 9$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: Уравнение задает сферу, так как его можно привести к каноническому виду $(x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 9$. Радиус сферы $R = 3$, координаты центра $C(2; -1; 0)$.