Номер 55, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

55. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.

Найдите угол между векторами $\overline{SA}$ и:

а) $\overline{BC}$;

б) $\overline{EF}$.

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.
Точки $E$ и $F$ в условии не определены. Предположим, что $E$ — середина ребра $SB$, а $F$ — середина ребра $SD$.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$.
б) Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$.

Решение:

Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида, в её основании лежит квадрат $ABCD$. Так как все ребра равны 1, боковые грани являются равносторонними треугольниками.

а) Найдем угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$

Угол между двумя векторами — это угол между ними, когда они отложены от одной точки. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Поэтому угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$.
Рассмотрим треугольник $SAD$. По условию, все ребра пирамиды равны 1, значит $SA = AD = SD = 1$. Таким образом, треугольник $SAD$ является равносторонним.
Угол $\angle SAD$ в равностороннем треугольнике равен $60^{\circ}$. Этот угол является углом между векторами $\vec{AS}$ и $\vec{AD}$.
Вектор $\vec{SA}$ является противоположным вектору $\vec{AS}$ ($\vec{SA} = -\vec{AS}$). Угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{AD}$ будет смежным с углом $\angle SAD$.
Искомый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 180^{\circ} - \angle SAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$

б) Найдем угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$

Как было указано выше, мы предполагаем, что $E$ — середина ребра $SB$, а $F$ — середина ребра $SD$.
В таком случае, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $SBD$.
По свойству средней линии, $EF$ параллельна стороне $BD$ и равна ее половине. Это означает, что вектор $\vec{EF}$ коллинеарен вектору $\vec{DB}$ (так как $E$ и $F$ - середины $SB$ и $SD$ соответственно, направление будет от $D$ к $B$). Точнее, $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.
Следовательно, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{DB}$. Это угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $DB$.
Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ опускается в центр основания. Значит, $SO \perp (ABCD)$.
Так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и диагонали $DB$. То есть $SO \perp DB$.
В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны: $AC \perp DB$.
Прямая $DB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SO$ и $AC$) в плоскости $SAC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $DB$ перпендикулярна всей плоскости $SAC$.
Прямая $SA$ лежит в плоскости $SAC$. Так как прямая $DB$ перпендикулярна плоскости $SAC$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $DB \perp SA$.
Угол между прямыми $SA$ и $DB$ равен $90^{\circ}$. Значит, и угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{DB}$ (или $\vec{BD}$) равен $90^{\circ}$.
Таким образом, угол между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{EF}$ равен $90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$